Zbiór przechodni

Zbiór przechodni, zbiór tranzytywny – zbiór ${\displaystyle A}$ o tej własności, że jeżeli ${\displaystyle x\in A}$ oraz ${\displaystyle y\in x,}$ to ${\displaystyle y\in A.}$ Innymi słowy, zbiór przechodni to zbiór o tej własności, że elementy jego elementów są również jego elementami. Powyższa definicja w naturalny sposób przenosi się na klasy właściwe.

• Zbiór ${\displaystyle A}$ jest przechodni wtedy i tylko wtedy, gdy

${\displaystyle \bigcup A\subseteq A.}$

• W teorii Zermela-Fraenkla (i innych, które nie dopuszczają, by klasy właściwe były elementami zbiorów) zbiór ${\displaystyle A}$ jest przechodni wtedy i tylko wtedy, gdy

${\displaystyle A\subseteq {\mathcal {P}}(A).}$

• Zbiory przechodnie wykorzystywane są do alternatywnej definicji liczb porządkowych: każdy zbiór przechodni i liniowo uporządkowany ze względu na relację ${\displaystyle \in }$ jest dobrze uporządkowany (por. aksjomat regularności), a zatem porządkowo izomorficzny z pewną liczbą porządkową.
• W ZF przekrój zbioru przechodniego jest zbiorem przechodnim.
• Jeżeli ZFC⁻ ozacza teorię ZFC bez aksjomatu regularności, to istnieje model ZFC⁻, w którym istnieje zbiór przechodni, którego przekrój nie jest zbiorem przechodnim^[1].

Każdy zbiór zawarty jest w pewnym zbiorze przechodnim. Najmniejszy (w sensie inkluzji) zbiór przechodni, w którym zawarty jest zbiór ${\displaystyle X,}$ nazywa się jego domknięciem przechodnim i oznacza często ${\displaystyle {\mbox{tcl}}(X).}$ Domknięcie przechodnie można opisać jako:

${\displaystyle {\mbox{tcl}}(X)=\bigcup \{X,\bigcup X,\bigcup \bigcup X,\bigcup \bigcup \bigcup X,\bigcup \bigcup \bigcup \bigcup X,\dots \}.}$

• domknięcie przechodnie relacji
• uniwersum konstruowalne
• zbiór induktywny

• Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek: Teoria mnogości. Warszawa: PWN, 2007. ISBN 978-83-01-15232-1. Brak numerów stron w książce