Aksjomat regularności

Aksjomat regularności, aksjomat ufundowania – jeden z aksjomatów teorii mnogości w ujęciu aksjomatycznym Zermela-Fraenkla. Gwarantuje on między innymi, że zbiory budowane są zgodnie z intuicją, czyli że żaden zbiór nie jest swoim własnym elementem (bezpośrednio ani na żadnym poziome zagnieżdzenia).

Aksjomat regularności zapewnia, że

niepusty zbiór ma element, który się z nim pusto przecina, a więc wyraża się w postaci zdania logicznego:

${\displaystyle \forall x\;{\Big (}x\neq \varnothing \Rightarrow \exists y\;(y\in x\land y\cap x=\varnothing ){\Big )}.}$

Zapis ${\displaystyle y\cap x=\varnothing }$ można zastąpić logicznie mu równoważnym ${\displaystyle \neg \exists z\;(z\in x\land z\in y),}$ uzyskując równoważne zdanie:

${\displaystyle \forall x\;{\Big (}x\neq \varnothing \Rightarrow \exists y\;(y\in x\land \neg \exists z\;(z\in x\land z\in y)){\Big )}.}$

Aksjomatyka ZF dopuszcza istnienie tylko takich zbiorów, które składają się z elementów podstawowych/pierwotnych w stosunku do samego zbioru. Każdy taki zbiór musi zostać zbudowany w oparciu o elementy ostateczne (które nie zawierają w sobie innych elementów). Rolę takiego elementu ostatecznego w ZF pełni zbiór pusty ${\displaystyle \varnothing =\{\}}$ i stanowi on swoisty fundamend na którym budowane są inne zbiory. Stąd zbiory posiadające ostateczne elementy (z ktorych zostały skonstruowane) nazywamy zbiorami ufundowanymi.

Zbiory nieufundowane to takie, w których nie zawsze można "zejść" (względem zagnieżdzenia kolejnych elementów) do fundamentalnych elementów np.

• zbiór który zawiera sam siebie jako element np. ${\displaystyle X=\{X\}}$, gdzie mamy sutację ${\displaystyle ...\in X\in X\in X\in ...}$
• różnego rodzaju rekurencyjne "cykle" definicyjne np. ${\displaystyle X=\{e,Y\},Y=\{\pi ,X\}}$ gdzie mamy ${\displaystyle ...\in Y\in X\in Y\in X\in Y\in ...}$
• w ogólności: zbiór w którym bez końca możemy schodzić do penych kolejnych podelementów tzn. w zbiorze ${\displaystyle X_{0}}$ istnieje pewien nieskończony łańcuch (malejący) zbiorów gdzie ${\displaystyle X_{i+1}\in X_{i}}$ co można zapisać: ${\displaystyle ...\in X_{2}\in X_{1}\in X_{0}}$.

Przyjęcie aksjomatu regularności (obok pozostałych aksjomtów ZF) spowoduje, że nie mogą istnieć zbiory tworzące nieskończony łańcuch względem relacji ${\displaystyle \in }$ (przynależność do zbioru), w którym zbiór następny jest elementem zbioru poprzedniego (tj. każdy kolejny zbiór jest "mniejszy" i znajduje się w zbiorze poprzednim):

${\displaystyle X_{0}\ni X_{1}\ni X_{2}\ni ...}$

Aksjomat, powoduje że nie istnieje taki zbiór, w którym moglibyśmy wybrać jakiś element, w tym elemencie wybrać kolejny element, w tym ostatnim kolejny i tak dalej bez końca. Gwarantuje to nam, że zawsze w pewnym momencie będziemy musieli zatrzymać sie (w schodzeniu na kolejny poziom zagnieżdżenia), gdyż dojdziemy do elementu, który nie zawiera w sobie żadnych elementów.

Dowód

Założmy że istnieje taki nieskończony łańcuch zbiów ${\displaystyle X_{0}\ni X_{1}\ni X_{2}\ni ...}$, gdzie zachodzi ${\displaystyle X_{n+1}\in X_{n}}$. Wówczas, korzystając z aksjomatów nieskończoności i zstępowania, możemy utowrzyć zbiór ${\displaystyle X}$ którego elementami są owe zbiory tj. ${\displaystyle X=\{X_{0},X_{1},X_{2},...\}}$. Na mocy aksjomatu regularności musi istnieć taki ${\displaystyle Y\in X}$ że ${\displaystyle Y\cap X=\varnothing }$. Zatem ${\displaystyle Y=X_{i}}$ dla pewnego i, ale wiemy że ${\displaystyle X_{i+1}\in X_{i}}$ a to oznacza, że ${\displaystyle X_{i+1}\in Y}$ oraz ${\displaystyle X_{i+1}\in X}$, zatem ${\displaystyle Y\cap X\neq \varnothing }$. Zatem otrzymaliśmy sprzeczność z aksjomatem regularności, więc taki łańcuch zbiorów nie może istnieć.

Rozważając łańcuchy malejące, w szczególności nie może istnieć sytuacja że zbiór zawiera bezpośrednio lub pośrednio sam siebie tj. ${\displaystyle X_{0}\ni ...\ni X_{i}\ni X_{i+1}\ni ...\ni X_{j}\ni X_{i}\ni ...}$. Czyli, że jakiś zbiór ${\displaystyle x_{i}}$ jest swoim własnym elementem bezpośrednio lub pośrednio (na pewnym poziomie zagnieżdżenia) gdyż doprowadza to do sprzeczności z aksjomatem regularności (występowanie "cyklu" jest szczególnym przypadkiem łańcucha malejącego).

Aksjomat regularności nie zabrania jednak posiadania przez zbiór nieskończonej liczby zagnieżdżeń. Dopuszczalne jest istnienie łańcuchów rosnąych tzn.

${\displaystyle X_{0}\in X_{1}\in X_{2}\in ...}$

Tutaj każdy kolejny zbiór ${\displaystyle X_{i}}$ jest "większy" i zawiera poprzedni. Różnica w stosunu do łańcuchów malejących polega na tym, że tutaj startujemy od pewnego zbioru ${\displaystyle X_{0}}$ i budujemy kolejne "większe" (zawierajace go) zbiory (w nieskończoność). Dla łańcuchów malejących natomiast, startujemy od pewnego zbioru ${\displaystyle X_{0}}$ i wyciągamy z niego jakiś ("mniejszy") element ${\displaystyle X_{1}}$, następnie powtarzamy to wyciąganie dla ${\displaystyle X_{1}}$ itd. (w nieskończoność).

Przykład

Weźmy definicję liczb naturalnych von Neumanna tzn. każda kolejna liczba zawiera w sobie poprzednie tj. ${\displaystyle 0=\{\},1=\{0\},2=\{0,1\},3=\{0,1,2\}}$ itd. . Zwróćmy uwagę, że liczba zagnieżdzeń dla danej liczby (zbioru) n ma wartość tej liczby np. ${\displaystyle 3=\{0,1,2\}=\{0,1,\{0,1\}\}=\{0,\{0\},\{0,\{0\}\}\}=\{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}}$ (mamy trzy poziomy zagnieżdzeń). Wówczas zbiór liczb naturalnych tj. ${\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,...\}}$ ma nieskończenie wiele zagnieżdzeń a jednocześnie spełnia aksjomat regularności tj. każdy jego element (liczba naturalna) z definicji ma pewna skończoną liczbę zagnieżdzeń. Z drugiej strony cały zbiór ${\displaystyle \mathbb {N} }$ zawiera nieskończenie wiele zagnieżdżeń ponieważ dla dowolnej skończonej ilości zagnieżdzeń ${\displaystyle k}$, zawsze znajdziemy liczbę naturalną ${\displaystyle n=k+1,n\in \mathbb {N} }$ która jest zbiorem zawierającym więcej zagnieżdzeń.

• Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek: Teoria mnogości. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2007. ISBN 978-83-01-15232-1. Brak numerów stron w książce

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Axiom of Foundation, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-03-07].