Hipoteza Kurepy

Hipoteza Kurepy, KH (od ang. Kurepa hypothesis) – zdanie teorii mnogości postulujące istnienie obiektów nazywanych drzewami Kurepy. Jest ono niezależne od standardowych aksjomatów ZFC (nie można go udowodnić ani obalić na gruncie tych aksjomatów).

Drzewo to częściowy porządek ${\displaystyle (T,\sqsubseteq )}$ o własności: dla każdego ${\displaystyle t\in T}$ zbiór ${\displaystyle \{s\in T\colon s\sqsubset t\}}$ jest dobrze uporządkowany (przez relację ${\displaystyle \sqsubseteq }$). Niech ${\displaystyle (T,\sqsubseteq )}$ będzie drzewem. Wysokością ${\displaystyle \mathrm {ht} (t)}$ elementu ${\displaystyle t}$ w drzewie ${\displaystyle T}$ nazywa się typ porządkowy zbioru ${\displaystyle \{s\in T\colon s\sqsubset t\}.}$ Dla każdej liczby porządkowej ${\displaystyle \alpha }$ definiuje się ${\displaystyle \alpha }$-ty poziom drzewa ${\displaystyle T}$ jako zbiór

${\displaystyle \mathrm {Lev} _{\alpha }(T)=\{t\in T\colon \mathrm {ht} (t)=\alpha \}.}$

Drzewo ${\displaystyle (T,\sqsubseteq )}$ spełniające

• ${\displaystyle \mathrm {Lev} _{\alpha }(T)\neq \varnothing }$ dla każdej przeliczalnej liczby ${\displaystyle \alpha <\omega _{1},}$ ale ${\displaystyle \mathrm {Lev} _{\omega _{1}}(T)=\varnothing }$

oraz

• ${\displaystyle (\forall \alpha <\omega _{1})(|\mathrm {Lev} _{\alpha }(T)|<\omega _{1})}$

nazywa się drzewem ${\displaystyle \omega _{1}.}$

Jeżeli ${\displaystyle (T,\sqsubseteq )}$ jest drzewem ${\displaystyle \omega _{1},}$ to łańcuch ${\displaystyle C\subseteq T}$ nazywa się gałęzią w drzewie ${\displaystyle T,}$ jeśli

${\displaystyle (\forall \alpha <\omega _{1})(C\cap \mathrm {Lev} _{\alpha }(T)\neq \varnothing ).}$

Drzewo Kurepy to drzewo ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle (T,\sqsubseteq ),}$ w którym istnieją przynajmniej gałęzie ${\displaystyle \omega _{2}.}$ Hipotezą Kurepy nazywa się zdanie stwierdzające, że „istnieje drzewo Kurepy”.

• Wzmocnienie ${\displaystyle \diamondsuit ^{+}}$ diamentu Jensena implikuje KH. Zatem hipoteza Kurepy jest spełniona w uniwersum konstruowalnym L.
• Jeśli istnieje liczba nieosiągalna, to pewne pojęcie forsingu forsuje ¬KH (negacja KH). Zatem jeśli niesprzeczna jest teoria ZFC + „istnieje liczba nieosiągalna”, to niesprzeczne jest również ZFC + ¬KH.
• Powyżej liczba nieosiągalna jest niezbędna, gdyż ¬KH pociąga nieosiągalność ${\displaystyle \omega _{2}}$ w L.

• aksjomat Martina
• hipoteza continuum
• hipoteza Suslina