Algorytm Edmondsa-Karpa

Algorytm Edmondsa-Karpa jest jedną z realizacji metody Forda-Fulkersona rozwiązywania problemu maksymalnego przepływu w sieci przepływowej. Jego złożoność czasowa wynosi ${\displaystyle O(VE^{2}),}$ jest zatem wolniejszy od innych znanych algorytmów przepływowych działających w czasie ${\displaystyle O(V^{3}),}$ takich jak algorytm relabel-to-front, czy algorytm trzech Hindusów. W praktyce jednak złożoność pesymistyczna rzadko jest osiągana, co w połączeniu z prostotą czyni algorytm Edmondsa-Karpa bardzo użytecznym, szczególnie dla grafów rzadkich.

Algorytm ten został odkryty przez rosyjskiego naukowca, E.A. Dinica w roku 1970^[1], i niezależnie przez Jacka Edmondsa i Richarda Karpa w roku 1972^[2]. Artykuł Dinica zawiera dodatkowe techniki, które obniżają czas działania do ${\displaystyle O(V^{2}E)}$ (algorytm z tą poprawką nazywa się obecnie algorytmem Dynica).

Idea algorytmu jest identyczna z ideą metody Forda-Fulkersona, z dodatkowym warunkiem: ścieżka powiększająca, którą szukamy w każdym kroku algorytmu, musi być najkrótsza, czyli zawierać minimalną możliwą liczbę (nie wagę!) krawędzi. Taką ścieżkę znajduje się uruchamiając algorytm przeszukiwania grafu wszerz w sieci residualnej.

algorytm Edmonds-Karp
  wejście
    c[u,v] //pojemności krawędzi
    s,t //źródło i ujście
  wyjście
    f[u,v] //maksymalny przepływ
  // stworzenie sieci residualnej
  zdefiniuj r[u,v] jako c[u,v] – f[u,v]
  ścieżka := true
  dopóki ścieżka wykonaj
    // znalezienie ścieżki z s do t w sieci residualnej
    p := BFS(r[],s,t)
    jeżeli ścieżka nie istnieje
      ścieżka := false
    w przeciwnym wypadku
      // powiększenie przepływu na ścieżce p 
      a := min {r[u,v] : (u,v) należące do p}
      dla każdej krawędzi (u,v) należącej do p
        f[u,v] = f[u,v]+a
        f[v,u] = f[v,u]-a

Poprawność algorytmu wynika wprost z twierdzenia Forda-Fulkersona: po zakończeniu działania w grafie nie może być ścieżki powiększającej, przepływ jest więc maksymalny. Przystępny dowód oszacowania złożoności czasowej można znaleźć w^[3], opiera się on na fakcie, że długość ścieżki powiększającej nie może maleć, a utrzymywać się na tym samym poziomie może przez co najwyżej ${\displaystyle O(E)}$ kroków algorytmu (czyli jest co najwyżej ${\displaystyle O(VE)}$ kroków, jako że długość ścieżki nie przekroczy ${\displaystyle V}$).

Dana jest następująca sieć przepływowa:

Wierzchołek A jest źródłem, G ujściem. Pary liczb ${\displaystyle f/c}$ na krawędziach oznaczają odpowiednio bieżący przepływ i maksymalną pojemność krawędzi. Pojemność residualna krawędzi z ${\displaystyle u}$ do ${\displaystyle v}$ to ${\displaystyle r[u,v]=c[u,v]-f[u,v],}$ pojemność maksymalna zmniejszona o aktualny przepływ. Należy zwrócić uwagę na to, że f[u,v] może być ujemne, co powiększa pojemność krawędzi.

Opis	Znaleziona ścieżka
	Sieć po powiększeniu
Najkrótsza powiększająca ścieżka ma długość 3 i składa się z krawędzi AD (pojemność residualna 3-0 = 3), DE (2-0 = 2), i EG (1-0 = 1). Minimalna pojemność residualna to 1, powiększamy zatem przepływ na tej ścieżce o 1.	${\displaystyle A,D,E,G}$
Najkrótsza ścieżka: AD (3-1 = 2), DF (6-0 = 6), FG (9-0 = 9). Minimalna pojemność residualna: 2.	${\displaystyle A,D,F,G}$
Najkrótsza ścieżka: AB (3-0 = 3), BC (4-0 = 4), CD (1-0 = 1), DF (6-2 = 4), FG (7-2 = 5). Minimalna pojemność residualna: 1.	${\displaystyle A,B,C,D,F,G}$
Najkrótsza ścieżka: AB (3-1 = 2), BC (4-1 = 3), CE (2-0 = 2), ED (0-(-1) = 1), DF (6-3 = 3), FG (9-3 = 6). Minimalna pojemność residualna: 1. Krawędź ED nie występuje w oryginalnym grafie (jej pojemność to 0), jest jednak obecna w sieci residualnej – przepływ na niej wynosi -1, gdyż przepływ na DE wynosi 1. Stąd pojemność residualna ED jest równa 1 i możemy tej krawędzi użyć w ścieżce powiększającej.	${\displaystyle A,B,C,E,D,F,G}$

W powstałej sieci nie ma już ścieżek powiększających, zatem znaleziony przepływ o wielkości 5 jest maksymalny. Przykład dobrze ilustruje podstawową własność algorytmu Edmondsa-Karpa: długości ścieżek powiększających w kolejnych krokach nie mogą maleć.

• metoda Forda-Fulkersona
• problem maksymalnego przepływu

• Algorytm Edmondsa-Karpa na wazniak.mimuw.edu.pl