Stała Erdősa-Borweina

Stała Erdősa-Borweina – suma szeregu złożonego z odwrotności liczb Mersenne’a. Nazwana tak na cześć matematyków Paula Erdősa i Petera Borweina.

Z definicji

${\displaystyle E_{B}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}-1}}\approx 1{,}60669\ 51524\ 15291\ 763\dots }$

Można pokazać, że następujące określenia są równoważne z powyższą definicją:

${\displaystyle E_{B}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n^{2}}}}{\frac {2^{n}+1}{2^{n}-1}}}$

${\displaystyle E_{B}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{mn}}}}$

${\displaystyle E_{B}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}(2^{n}-1)}}}$

${\displaystyle E_{B}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{0}(n)}{2^{n}}}}$

gdzie ${\displaystyle \sigma _{0}(n)=d(n)}$ jest funkcją, przypisującą liczbie n liczbę jej dodatnich podzielników. Aby dowieść równoważność powyższych sum, wystarczy zauważyć, że można je zapisać w postaci szeregu Lamberta.

W roku 1948 Paul Erdős pokazał, że liczba ${\displaystyle E_{B}}$ jest niewymierna.

• lista stałych matematycznych