Torus (matematyka)

Torus – dwuwymiarowa powierzchnia obrotowa zanurzalna w przestrzeni trójwymiarowej, powstała przez obrót okręgu wokół prostej leżącej w płaszczyźnie tego okręgu i nieprzecinającej go^[1][2]. Często oznacza się go symbolem ${\displaystyle \mathrm {T} ^{2}}$ lub ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}.}$

Wyobrażeniem torusa może być napompowana dętka rowerowa lub powierzchnia obwarzanka.

Niech okrąg definiujący torus ma promień ${\displaystyle r,}$ oś obrotu pokrywa się z osią ${\displaystyle OZ}$ układu współrzędnych kartezjańskich a jej odległość od środka okręgu wynosi ${\displaystyle R}$ oraz niech środek okręgu leży w płaszczyźnie ${\displaystyle OXY.}$

Wówczas równanie torusa przyjmuje postać:

${\displaystyle \left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R\right)^{2}+z^{2}=r^{2}.}$

Pole powierzchni torusa jest równe^[1]:

${\displaystyle S=4\pi ^{2}rR,}$

z kolei objętość torusa (dokładniej: część przestrzeni ograniczonej torusem) jest równa^[1]:

${\displaystyle V=2\pi ^{2}Rr^{2}.}$

Wyniki te najłatwiej uzyskać korzystając z tzw. parametryzacji sferycznej, czyli przedstawiając torus w układzie współrzędnych sferycznych.

Niech dany będzie okrąg w płaszczyźnie ${\displaystyle xz}$ o środku w punkcie ${\displaystyle \left(R,\ 0,\ 0\right)}$ i promieniu ${\displaystyle r,}$ gdzie ${\displaystyle R>r>0.}$ Parametryzacja tego okręgu przedstawia się następująco:

${\displaystyle f(\alpha )=(R+r\cos \alpha ,\ 0,\ r\sin \alpha ).}$

Obróćmy ten okrąg o kąt ${\displaystyle \beta }$ wokół osi ${\displaystyle z.}$ W tym celu wykorzystamy macierz obrotu:

${\displaystyle U_{\beta }={\begin{bmatrix}\cos \beta &-\sin \beta &0\\\sin \beta &\cos \beta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}.}$

Zatem:

${\displaystyle p\left(\alpha ,\ \beta \right)=U_{\beta }\cdot f^{T}(\alpha )={\begin{bmatrix}\cos \beta &-\sin \beta &0\\\sin \beta &\cos \beta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}R+r\cos \alpha \\0\\r\sin \alpha \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\left(R+r\cos \alpha \right)\cos \beta \\\left(R+r\cos \alpha \right)\sin \beta \\r\sin \alpha \end{bmatrix}}.}$

Wobec tego równanie parametryczne torusa jest postaci:

${\displaystyle p(\alpha ,\ \beta )={\Big (}(R+r\cos \alpha )\cos \beta ,\ (R+r\cos \alpha )\sin \beta ,\ r\sin \alpha {\Big )}.}$

Krzywiznę Gaussa powierzchni obrotowej zadanej równaniem parametrycznym ${\displaystyle p(\alpha ,\ \beta )={\Big (}g(\alpha ),\ h(\alpha )\cos \beta ,h(\alpha )\sin \beta {\Big )}}$ w punkcie ${\displaystyle P=p(\alpha ,\ \beta )}$ można wyznaczyć ze wzoru:

${\displaystyle K_{P}={\frac {g'\left(g''h'-h''g'\right)}{h\left(g'^{2}+h'^{2}\right)^{2}}}.}$

Dla torusa o podanej wcześniej parametryzacji mamy:

${\displaystyle h(\alpha )=R+r\cos \alpha ,\qquad g(\alpha )=r\sin \alpha .}$

Stąd:

${\displaystyle h'(\alpha )=-r\sin \alpha ,\qquad g'(\alpha )=r\cos \alpha$ ;}

${\displaystyle h''(\alpha )=-r\cos \alpha ,\qquad g''(\alpha )=-r\sin \alpha .}$

Zatem z powyższego wzoru na krzywiznę Gaussa dla powierzchni obrotowej jest:

${\displaystyle K_{P}={\frac {\cos \alpha }{r(R+r\cos \alpha )}}.}$

Zauważmy, że:

• dla ${\displaystyle -{\tfrac {\pi }{2}}<\alpha <{\tfrac {\pi }{2}}}$ mamy ${\displaystyle \cos \alpha >0,}$ czyli ${\displaystyle K_{P}>0}$ na zewnętrznej stronie torusa;
• dla ${\displaystyle \alpha =-{\tfrac {\pi }{2}},\;\alpha ={\tfrac {\pi }{2}}}$ mamy ${\displaystyle \cos \alpha =0,}$ czyli ${\displaystyle K_{P}=0}$ na górze i dole torusa;
• dla ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}<\alpha <{\tfrac {3\pi }{2}}}$ mamy ${\displaystyle \cos \alpha <0,}$ czyli ${\displaystyle K_{P}<0}$ po wewnętrznej stronie torusa;
• gdy ${\displaystyle \alpha =0,}$ wówczas ${\displaystyle K_{P}}$ przyjmuje maksimum, tj. ${\displaystyle K(0)={\tfrac {1}{r(R+r)}}}$ na największym okręgu (równoleżniku);
• gdy ${\displaystyle \alpha =\pi ,}$ wówczas ${\displaystyle K_{P}}$ przyjmuje minimum, tj. ${\displaystyle K(\pi )={\tfrac {-1}{r(R-r)}}}$ na najmniejszym okręgu (równoleżniku).

Torus jest homeomorficzny z przestrzenią ilorazową ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}/\sim ,}$ gdzie ${\displaystyle \sim }$ jest relacją równoważności określoną następująco:

${\displaystyle (x,y)\sim (x',y')\Leftrightarrow x-x'\in \mathbb {Z} ,y-y'\in \mathbb {Z} .}$

Wynika stąd istnienie odwzorowania ${\displaystyle p:\mathbb {R} ^{2}\to T^{2},}$ ${\displaystyle f(x,y)=[(x,y)]_{\sim },}$ które przyporządkowuje każdemu punktowi płaszczyzny jego klasę abstrakcji w relacji ${\displaystyle \sim }$ i przeprowadza płaszczyznę w torus. Przekształcenie to łatwo uogólnić na wyższe niż 2 wymiary.

Pojęcie torusa we współczesnej matematyce jest znacznie ogólniejsze i zależnie od działu matematyki możemy mówić o torusach wielowymiarowych, o obiektach w sensie topologicznym równoważnych torusowi, o obiektach mających takie same własności jak torus w sensie teorii rozmaitości algebraicznych itp.

• toroid
• genus

• Torus, [w:] Matematyka, Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1990 (Encyklopedia szkolna), s. 285-286, ISBN 83-02-02551-8 .

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Torus, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
• Torus (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].