Twierdzenie Rao-Blackwella

Twierdzenie Rao-Blackwella:

Niech A będzie wypukłym zbiorem decyzji, i niech ${\displaystyle L(a,\theta )}$ będzie wypukłą funkcją parametru ${\displaystyle a,}$ dla każdego ustalonego ${\displaystyle \theta }$ ze zbioru parametrów. Niech ${\displaystyle T}$ będzie statystyką dostateczną a ${\displaystyle d}$ pewną regułą decyzyjną wtedy ${\displaystyle d_{0}=E(d|T)}$ jest regułą decyzyjną zależną tylko od ${\displaystyle T}$ i nie gorszą od ${\displaystyle d.}$

Dowód:

Lemat:

Niech ${\displaystyle C}$ będzie zbiorem wypukłym, a ${\displaystyle Z}$ zmienną losową taką, że ${\displaystyle P(Z\in C)=1}$ wtedy ${\displaystyle EZ\in C}$ o ile istnieje.

A jest zbiorem wypukłym, a więc ${\displaystyle d_{0}\in A,}$ czyli ${\displaystyle d_{0}}$ jest regułą decyzyjną.

${\displaystyle T}$ jest statystyką dostateczną, więc można wybrać wersję warunkowej wartości oczekiwanej niezależną od ${\displaystyle \theta .}$

${\displaystyle R(d,\vartheta )=EL(d,\vartheta )=E[E(L(d,\vartheta )|T]\geqslant E[L(E(d|T),\vartheta )]=E(d_{0},\vartheta )=R(d_{0},\vartheta )}$

Co kończy dowód.

Oczywistym wnioskiem jest także to, że klasa reguł decyzyjnych jest istotnie zupełna