Wielomiany Hermite’a

Wielomiany Hermite’a – wielomiany o współczynnikach rzeczywistych, będące rozwiązaniem równania rekurencyjnego

${\displaystyle H_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-2nH_{n-1}(x),}$

przy warunkach początkowych

${\displaystyle H_{0}(x)=1,}$

${\displaystyle H_{1}(x)=2x.}$

Wielomiany Hermite’a są między innymi wykorzystywane do opisu kwantowego oscylatora harmonicznego.

Pierwszy z tych wzorów bywa nazywany wzorem Rodriguesa^[1]:

${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}}$

${\displaystyle H_{n}(x)={\frac {2^{n}}{\sqrt {\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }(x+it)^{n}e^{-t^{2}}dt}$

${\displaystyle H_{n}(x)={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}e^{-t^{2}+2xt}{\Bigg |}_{t=0}}$

Wykładniczą funkcją tworzącą wielomianów Hermite’a jest

${\displaystyle G(x,t)=e^{-t^{2}+2tx}=\sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.}$

Innymi słowami – jeśli rozwiniemy

${\displaystyle e^{-t^{2}+2tx}}$

w szereg Maclaurina względem zmiennej ${\displaystyle t,}$ współczynnikiem przy ${\displaystyle {\frac {t^{n}}{n!}}}$ będzie ${\displaystyle H_{n}(x).}$

${\displaystyle H_{0}=1}$

${\displaystyle H_{1}=2x}$

${\displaystyle H_{2}=4x^{2}-2}$

${\displaystyle H_{3}=8x^{3}-12x}$

${\displaystyle H_{4}=16x^{4}-48x^{2}+12}$

${\displaystyle H_{5}=32x^{5}-160x^{3}+120x}$

${\displaystyle H_{6}=64x^{6}-480x^{4}+720x^{2}-120}$

${\displaystyle H_{7}=128x^{7}-1344x^{5}+3360x^{3}-1680x.}$

• ${\displaystyle H_{n}(x)}$ jest wielomianem ${\displaystyle n}$-tego stopnia.
• ${\displaystyle {\frac {dH_{n}(x)}{dx}}=2nH_{n-1}(x),}$
• ${\displaystyle H_{2n}(0)=(-1)^{n}{\frac {(2n)!}{n!}},}$
• ${\displaystyle H_{n}(-x)=(-1)^{n}H_{n}(x),}$

czyli dla ${\displaystyle n}$ parzystego ${\displaystyle H_{n}(x)}$ jest funkcją parzystą, a dla ${\displaystyle n}$ nieparzystego – funkcją nieparzystą.

• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{n}(x)H_{m}(x)e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}2^{n}n!\delta _{nm},}$

czyli wielomiany Hermite’a tworzą układ wielomianów ortogonalnych z funkcją wagową ${\displaystyle e^{-x^{2}}.}$

• formuła trójczłonowa
• wielomiany Czebyszewa
• wielomiany Laguerre’a
• wielomiany Legendre’a

• Leonard I. Schiff, Mechanika kwantowa, PWN, Warszawa 1977, s. 73.