Wielomiany Czebyszewa

Wielomiany Czebyszewa – układ wielomianów ortogonalnych tworzący bazę przestrzeni wielomianów; nazwa pochodzi od nazwiska Pafnutija Czebyszowa.

Wielomiany Czebyszewa pierwszego rodzaju

Definicja rekurencyjna

Wielomiany te spełniają zależność^[1]:

T_{0}(x)=1

T_{1}(x)=x

oraz

T_{k}(x)=2x\cdot T_{k-1}(x)-T_{k-2}(x)\,,\,\,k=2,3,4\ldots

Postać jawna

Rozwiązaniem powyższej rekurencji jest:

T_{k}(x)={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{k}+(x-{\sqrt {x^{2}-1}})^{k}}{2}}.

Parzystość wielomianów Czebyszewa

Z definicji wynika, że dla k parzystego wielomian Czebyszewa $k$ -tego stopnia jest parzysty, dla nieparzystego k – nieparzysty:

T_{k}(-x)=(-1)^{k}T_{k}(x).

Postać trygonometryczna

Dla $x\in [-1;1]$ podstawiając za $x=\cos \,t,$ dla $k=0,1,2,\dots$

{\begin{aligned}T_{k}(\cos \,t)&={\frac {(\cos \,t+{\sqrt {\cos ^{2}t-1}})^{k}+(\cos \,t-{\sqrt {\cos ^{2}t-1}})^{k}}{2}}\\&={\frac {(\cos \,t+{\sqrt {-\sin ^{2}t}})^{k}+(\cos \,t-{\sqrt {-\sin ^{2}t}})^{k}}{2}}\\&={\frac {(\cos \,t+i\cdot \sin \,t)^{k}+(\cos \,t-i\cdot \sin \,t)^{k}}{2}}\end{aligned}}

gdzie $i^{2}=-1.$

Po zastosowaniu wzoru de Moivre’a na k-tą potęgę liczby zespolonej otrzymuje się:

T_{k}(\cos \,t)=\cos kt.

Wracając do zmiennej $x{:}$ $t=\arccos x$

T_{k}(x)=\cos(k\,\arccos(x)).\qquad {}

(*)

Jest to tzw. postać trygonometryczna wielomianu Czebyszewa, gdyż wyraża wielomian Czebyszewa $k$ -tego stopnia przez funkcję trygonometryczną $\cos$ i jej odwrotność $\arccos .$ Korzystając z własności funkcji trygonometrycznych, można wykazać, że (*) jest w zależności od argumentu $x$ równe:

T_{k}(x)={\begin{cases}\cos(k\arccos x),&x\in [-1,1]\\[2px]\cosh(k\,\operatorname {arcosh} (x)),&x\geqslant 1\\[2px](-1)^{k}\cosh(k\,\operatorname {arcosh} (-x)),&x\leqslant -1\end{cases}}

Można wykazać, że

\cos(k\,t)={\frac {e^{ik\,t}+e^{-ik\,t}}{2}}={\frac {(e^{i\,t})^{k}+(e^{i\,t})^{-k}}{2}},

ponieważ zachodzi

e^{i\,t}=\cos(t)+i\sin(t)

oraz

\sin(t)={\sqrt {1-\cos ^{2}(t)}}

zachodzi

e^{i\,t}=\cos(t)+{\sqrt {\cos ^{2}(t)-1}},

a stąd

\cos(k\,t)={\frac {(\cos(t)+{\sqrt {\cos ^{2}(t)-1}})^{k}+(\cos(t)+{\sqrt {\cos ^{2}(t)-1}})^{-k}}{2}}

podstawiają za $\cos(t)$ x, otrzymuje się

T_{k}(x)={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{k}+(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{-k}}{2}}.

Zera wielomianów Czebyszewa

Wielomian Czebyszewa $T_{k}(x)$ posiada $k$ zer rzeczywistych należących do $[-1;1]$ danych wzorem:

x_{j}=\cos \left({\frac {2j-1}{2k}}\,\pi \right),\quad j=1,2,\dots ,k.

Ortogonalność

Wielomiany Czebyszewa tworzą układ ortogonalny w przestrzeni $L_{p}^{2}[-1,1]$ z funkcją wagową $w(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}{:}$

{}\,\int \limits _{-1}^{1}T_{k}(x)T_{j}(x)\,{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\left\{{\begin{aligned}&0&&:k\neq j\\&\pi &&:k=j=0\\&\pi /2&&:k=j\neq 0\end{aligned}}\right.

Dowód

\langle T_{k},T_{j}\rangle =\int \limits _{-1}^{1}{\frac {T_{k}(x)\cdot T_{j}(x)}{\sqrt {1-x^{2}}}}dx=\int \limits _{-1}^{1}{\frac {\cos(k\cdot \arccos(x))\cdot \cos(j\cdot \arccos(x))}{\sqrt {1-x^{2}}}}dx.

Zastosujmy podstawienie $t=\arccos(x).$ Mamy wówczas ${\frac {dt}{dx}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$ oraz $x=\cos(t).$ Stosując we wcześniejszym wzorze:

\langle T_{k},T_{j}\rangle =-\int \limits _{\pi }^{0}{\frac {\cos(k\cdot t)\cdot \cos(j\cdot t)}{\sqrt {1-\cos ^{2}(t)}}}{\sqrt {1-\cos ^{2}(t)}}dt=\int \limits _{0}^{\pi }\cos(k\cdot t)\cdot \cos(j\cdot t)dt.

Korzystając ze wzoru trygonometrycznego $\cos(\alpha )\cdot \cos(\beta )={\frac {1}{2}}[\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )]$ dostajemy

\langle T_{k},T_{j}\rangle =\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {1}{2}}[\cos((k-j)t)+\cos((k+j)t)]dt={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\pi }\cos((k-j)t)dt+{\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\pi }\cos((k+j)t)dt.

Załóżmy w tym momencie, że $k\neq j$ i rozpatrzmy obie całki osobno.

\int \limits _{0}^{\pi }\cos((k-j)t)dt={\frac {1}{k-j}}\int \limits _{0}^{(k-j)\pi }\cos(t)dt={\frac {1}{k-j}}[\sin(t)]_{0}^{(k-j)\pi }=0.

Analogicznie:

\int \limits _{0}^{\pi }\cos((k+j)t)dt={\frac {1}{k+j}}\int \limits _{0}^{(k+j)\pi }\cos(t)dt={\frac {1}{k+j}}[\sin(t)]_{0}^{(k+j)\pi }=0.

Zatem:

\langle T_{k},T_{j}\rangle =0.

Widać, że założenie, iż $k\neq j$ jest istotne, ponieważ w przeciwnym wypadku otrzymalibyśmy 0 w mianowniku.

Powyższe równania dowodzą, że wielomiany Czebyszewa są wzajemnie prostopadłe z wagą $w(x)={\tfrac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}{:}$

Teraz rozważmy przypadek, kiedy $j=k\neq 0$

{\begin{aligned}\langle T_{k},T_{k}\rangle &={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\pi }[\cos((k-k)t)+\cos((k+k)t)]dt\\&={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\pi }[1+\cos(2kt)]dt\\&={\frac {\pi }{2}}+\int \limits _{0}^{\pi }\cos(2kt)dt\\&={\frac {\pi }{2}}+{\frac {1}{2k}}\int \limits _{0}^{2k\pi }\cos(t)dt\\&={\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}

W przypadku $k=j=0$ dostajemy $\langle T_{0},T_{0}\rangle =\pi$ co kończy dowód.

Przykłady wielomianów Czebyszew

Dziesięć pierwszych wielomianów Czebyszewa:

T_{0}(x)=1

T_{1}(x)=x

T_{2}(x)=2x^{2}-1

T_{3}(x)=4x^{3}-3x

T_{4}(x)=8x^{4}-8x^{2}+1

T_{5}(x)=16x^{5}-20x^{3}+5x

T_{6}(x)=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1

T_{7}(x)=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x

T_{8}(x)=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1

T_{9}(x)=256x^{9}-576x^{7}+432x^{5}-120x^{3}+9x.

Własności

Twierdzenie o minimaksie mówi, że unormowany (mający współczynnik 1 przy najwyższej potędze) wielomian Czebyszewa ${\frac {1}{2^{k-1}}}T_{k}(x)$ ma na odcinku $[-1;1]$ najmniejszą normę jednostajną (maksymalną wartość absolutną), spośród wszystkich wielomianów stopnia k, o współczynniku wiodącym równym jeden. Czyli dla dowolnego wielomianu postaci:

w_{k}(x)=x^{k}+a_{k-1}x^{k-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}

zachodzi nierówność:

\max _{x\in [-1;1]}|w_{k}(x)|\geqslant \max _{x\in [-1;1]}|{\frac {1}{2^{k-1}}}T_{k}(x)|.

Wiedząc, że dla każdego $x\in [-1;1]$ wielomian $T_{k}(x)$ przyjmuje wszystkie wartości z $[-1;1],$ możemy napisać:

\max _{x\in [-1;1]}|w_{k}(x)|\geqslant {\frac {1}{2^{k-1}}}.

Zastosowania

Przy interpolacji wielomianowej często zamiast równoodległych węzłów, używa się węzłów Czebyszewa, leżących w zerach wielomianów Czebyszewa. Pozwala to uniknąć tak zwanego efektu Rungego, czyli dużych oscylacji wielomianu interpolacyjnego przy krańcach przedziału. Fakt, że miejsca zerowe wielomianów Czebyszewa zagęszczają się ku krańcom przedziału, pozwala lepiej związać wielomian, zapobiegając naturalnym dla wielomianów wysokiego rzędu oscylacjom.