Wzór Kirchhoffa

Wzór Kirchhoffa – metoda rozstrzygania zagadnień ściśle związanych z tematem struny nieograniczonej. Nazwa pochodzi od Gustava Kirchhoffa.

Rozważmy funkcję ${\displaystyle u=u(x,y,z,t)}$ spełniającą równanie falowe w przypadku trzech zmiennych przestrzennych, tzn. równanie

${\displaystyle \Delta u-{\frac {1}{c^{2}}}u_{tt}=-f(x,y,z,t).}$

Niech punkt ${\displaystyle M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})}$ należy do obszaru V ograniczonego powierzchnią S.

Wówczas można udowodnić, że wartość szukanej funkcji ${\displaystyle u(M_{0},t_{0})}$ daje się zapisać za pomocą następującego wzoru Kirchhoffa:

${\displaystyle u(M_{0},t_{0})={\frac {1}{4\pi }}\iint \limits _{S}\left\{{\frac {1}{r_{MM_{0}}}}\right.\left[{\frac {\partial u}{\partial n}}\right]-[u]{\frac {\partial u}{\partial n}}\left({\frac {1}{r_{MM_{0}}}}\right)+{\frac {1}{cr_{MM_{0}}}}[u_{t}]\left.{\frac {\partial r_{MM_{0}}}{\partial n}}\right\}dS_{M}+{\frac {1}{4\pi }}\iiint \limits _{V}{\frac {[f]}{r_{MM_{0}}}}dV_{M},}$

gdzie:

${\displaystyle r_{MM_{0}}}$ jest odległością punktów ${\displaystyle M}$ i ${\displaystyle M_{0},}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial n}}}$ oznacza pochodną normalną zewnętrzną,

symbol ${\displaystyle [F]}$ oznacza, że wartość funkcji w nawiasach brana jest dla wartości ${\displaystyle t=t_{0}-{\frac {r_{MM_{0}}}{c}}.}$