Równanie falowe

Jednowymiarowe ${\displaystyle (n=1)}$ równanie falowe nazywa się równaniem struny lub równaniem fali płaskiej. Ma ono postać:

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial {}^{2}}{\partial t^{2}}}u-c^{2}\cdot \triangle _{x}u=0,&u:\mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+}\to {}\mathbb {R} \\u(x,0)=f(x),&f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \\[2pt]{\frac {\partial {}}{\partial t}}u(x,0)=g(x),&g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \end{cases}}}$

Bez uwzględnienia warunków brzegowych rozwiązaniem jest:

${\displaystyle u(x,t)=\alpha (x-ct)+\beta (x+ct),}$

gdzie ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ są dowolnie wybrane.

Przy założeniu regularności ${\displaystyle f\in C^{2}(\mathbb {R} ),g\in C^{1}(\mathbb {R} )}$ oraz uwzględnieniu warunku brzegowego rozwiązaniem jest:

${\displaystyle u(x,t)={\frac {f(x+ct)+f(x-ct)}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int \limits _{x-ct}^{x+ct}{g(z)\mathrm {d} z}.}$

Jest to wzór d’Alemberta. Równanie struny jest wówczas poprawnie postawione.

Struna półnieskończona to jednowymiarowa struna przymocowana na stałe z jednego końca. Matematycznie odpowiada dodaniu dodatkowego warunku brzegowego:

${\displaystyle u(0,t)=0}$ dla dowolnego ${\displaystyle t\in \mathbb {R} .}$

Rozwiązaniem zagadnienia struny półnieskończonej jest:

${\displaystyle {\begin{cases}u(x,t)={\frac {f(x+ct)+f(x-ct)}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int \limits _{x-ct}^{x+ct}{g(z)\mathrm {d} z},&x\geqslant {}ct\\[2pt]u(x,t)={\frac {f(x+ct)-f(ct-x)}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int \limits _{ct-x}^{ct+x}{g(z)\mathrm {d} z},&x<ct\end{cases}}}$

Równanie falowe dla ${\displaystyle n=3}$ ma postać

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial {}^{2}}{\partial t^{2}}}u-c^{2}\cdot \triangle _{x}u=0,&u:\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} _{+}\to {}\mathbb {R} \\u(x,0)=f(x),&f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} \\[2pt]{\frac {\partial {}}{\partial t}}u(x,0)=g(x),&g:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} \end{cases}}}$

Rozwiązanie równania można wyprowadzić za pomocą średnich sferycznych. Przy założeniu regularności ${\displaystyle f\in {}C^{3}(\mathbb {R} ^{3}),g\in {}C^{2}(\mathbb {R} ^{3})}$ rozwiązaniem jest:

${\displaystyle 4\pi {}c^{2}{}\cdot {}u(x,t)={\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {1}{t}}\int \limits _{S^{2}(x,ct)}{f(z)\mathrm {d} \sigma (z)}\right)+{\frac {1}{t}}\int \limits _{S^{2}(x,ct)}{g(z)\mathrm {d} \sigma (z)}.}$

Jest to wzór Kirchhoffa.

Równanie falowe dla ${\displaystyle n=2}$ można rozwiązać metodą spadku. Przy założeniu regularności ${\displaystyle f\in {}C^{3}(\mathbb {R} ^{3}),g\in {}C^{2}(\mathbb {R} ^{3})}$ rozwiązaniem jest:

${\displaystyle 2\pi {}c\cdot u(x,t)={\frac {\partial }{\partial t}}\left(\int \limits _{D(x,ct)}{\frac {f(z)\mathrm {d} \sigma (z)}{\sqrt {c^{2}{}t^{2}-|z-x|^{2}}}}\right)+\int \limits _{D(x,ct)}{\frac {g(z)\mathrm {d} \sigma (z)}{\sqrt {c^{2}t^{2}-|z-x|^{2}}}}.}$