Funkcja Riemanna

Funkcja Riemanna – funkcja rzeczywista zdefiniowana wzorem:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0&{\mbox{gdy }}x{\mbox{ jest niewymierne}}\\{\frac {1}{n}}&{\mbox{gdy }}x={\frac {m}{n}}{\mbox{ dla pewnego ułamka nieskracalnego }}\,{\frac {m}{n}}{\mbox{ o dodatnim }}n\end{cases}}}$^[1]

W szczególności, ${\displaystyle f(x)=1}$ dla wszystkich argumentów ${\displaystyle x}$ całkowitych, ponieważ dla każdej liczby całkowitej x nieskracalną postacią ułamka ${\displaystyle {\tfrac {m}{n}}=x}$ jest ${\displaystyle {\tfrac {x}{1}}.}$

Nazwa pochodzi od nazwiska Bernharda Riemanna, jednak występują też inne nazwy^[1].

• Ciągłość: Funkcja ta jest ciągła w każdym niewymiernym punkcie swojej dziedziny, i nieciągła w punktach wymiernych.
• Całkowalność: Funkcja Riemanna jest całkowalna w sensie Riemanna na każdym przedziale domkniętym ${\displaystyle [a,b],}$ ponieważ miara zbioru punktów nieciągłości jest równa 0. Ponadto,

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=0.}$

• funkcja Dirichleta
• twierdzenie Blumberga