Skala betów

Skala betów – rosnący ciągły ciąg liczb kardynalnych indeksowany wszystkimi liczbami porządkowymi, w którym każdy kolejny wyraz jest mocą zbioru wszystkich podzbiorów wyrazu poprzedniego.

Dla każdej liczby kardynalnej ${\displaystyle \kappa ,}$ symbol ${\displaystyle 2^{\kappa }}$ oznacza moc rodziny wszystkich podzbiorów ${\displaystyle \kappa .}$

• Przez indukcję po wszystkich liczbach porządkowych ${\displaystyle \alpha \in \mathbf {ON} }$ definiuje się ciąg ${\displaystyle \langle \beth _{\alpha }\colon \,\alpha \in \mathbf {ON} \rangle }$ (jest to klasa właściwa – zob. paradoks Buralego-Fortiego):

(i) ${\displaystyle \beth _{0}=\aleph _{0}}$ jest pierwszą nieskończoną liczbą porządkową,

(ii) ${\displaystyle \beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }},}$

(iii) jeśli ${\displaystyle \gamma }$ jest liczbą graniczną, to

${\displaystyle \beth _{\gamma }=\lim \limits _{\alpha <\gamma }\beth _{\alpha }=\bigcup \limits _{\alpha <\gamma }\beth _{\alpha }.}$

Ciąg ${\displaystyle \langle \beth _{\alpha }\colon \,\alpha \in \mathbf {ON} \rangle }$ jest nazywany skalą betów lub hierarchią betów.

Konstrukcję tę można uogólnić. Niech ${\displaystyle \kappa }$ będzie liczbą kardynalną.

• Przez indukcję po liczbach porządkowych ${\displaystyle \alpha \in \mathbf {ON} }$ zdefiniować można ciąg ${\displaystyle \langle \beth _{\alpha }(\kappa )\colon \,\alpha \in \mathbf {ON} \rangle {:}}$

(a) ${\displaystyle \beth _{0}(\kappa )=\kappa ,}$

(b) ${\displaystyle \beth _{\alpha +1}(\kappa )=2^{\beth _{\alpha }(\kappa )},}$

(c) jeśli ${\displaystyle \gamma }$ jest liczbą graniczną, to

${\displaystyle \beth _{\gamma }(\kappa )=\lim \limits _{\alpha <\gamma }\beth _{\alpha }(\kappa )=\bigcup \limits _{\alpha <\gamma }\beth _{\alpha }(\kappa ).}$

• ${\displaystyle \beth _{\alpha }=\beth _{\alpha }(\aleph _{0})}$ dla każdego ${\displaystyle \alpha .}$
• Przyjmując aksjomatykę Zermela-Fraenkla, hipoteza continuum (CH) to zdanie stwierdzające, że ${\displaystyle \beth _{1}=\aleph _{1},}$ a uogólniona hipoteza continuum (GCH) mówi, że ${\displaystyle (\forall \alpha \in \mathbf {ON} )(\beth _{\alpha }=\aleph _{\alpha }).}$
• ${\displaystyle \beth _{1}}$ jest mocą zbioru wszystkich podzbiorów zbioru liczb naturalnych, a więc także jest mocą zbioru ${\displaystyle \mathbb {R} }$ wszystkich liczb rzeczywistych.
• ${\displaystyle \beth _{2}}$ jest mocą zbioru wszystkich podzbiorów zbioru ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ a więc także mocą zbioru wszystkich funkcji z ${\displaystyle \mathbb {R} }$ w ${\displaystyle \mathbb {R} .}$
• Istnieją liczby porządkowe ${\displaystyle \alpha }$ takie, że ${\displaystyle \alpha =\beth _{\alpha }}$ (są to tzw. punkty stałe skali betów). Jeśli ${\displaystyle \kappa }$ jest liczbą silnie nieosiągalną, to ${\displaystyle \beth _{\kappa }=\kappa ,}$ ale punkty stałe skali betów można spotkać dużo wcześniej. Pierwszą taką liczbą jest granica (kres górny) ciągu ${\displaystyle \beth _{0},\beth _{\beth _{0}},\beth _{\beth _{\beth _{0}}},\dots }$
• ${\displaystyle \beth _{\omega }}$ ma tę szczególną własność, że jest pierwszą nieprzeliczalną silnie graniczną liczbą kardynalną: dla każdej liczby kardynalnej ${\displaystyle \kappa <\beth _{\omega }}$ mamy również ${\displaystyle 2^{\kappa }<\beth _{\omega }.}$

• Thomas Jech: Set theory. The Third Millennium Edition, revised and expanded. Berlin: Springer-Verlag, 2002, s. 55, 56. ISBN 3-540-44085-2.