Twierdzenie tangensów

Twierdzenie tangensów, wzór tangensów, twierdzenie Regiomontana – twierdzenie określające zależności między kątami i bokami trójkąta.

Jeśli ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ są długościami boków trójkąta, a ${\displaystyle \alpha }$ i ${\displaystyle \beta }$ są miarami kątów leżących odpowiednio naprzeciwko tych boków, wówczas prawdziwa jest zależność^[1]:

${\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\operatorname {tg} {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\operatorname {tg} {\frac {\alpha +\beta }{2}}}}.}$

Z twierdzenia sinusów wynikają równości:

${\displaystyle a=2R\sin \alpha }$ i ${\displaystyle b=2R\sin \beta ,}$

${\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {2R\sin \alpha -2R\sin \beta }{2R\sin \alpha +2R\sin \beta }}={\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}.}$

Korzystając z wzoru na sumę sinusów i tożsamości ${\displaystyle \operatorname {tg} \varphi ={\frac {\sin \varphi }{\cos \varphi }},}$ otrzymujemy

${\displaystyle {\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}={\frac {2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}={\frac {\operatorname {tg} {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\operatorname {tg} {\frac {\alpha +\beta }{2}}}}.}$

Dla trójkątów sferycznych obowiązuje analogiczne twierdzenie:

Jeśli ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ są długościami boków trójkąta sferycznego, a ${\displaystyle \alpha }$ i ${\displaystyle \beta }$ są miarami kątów leżących odpowiednio naprzeciwko tych boków, wówczas prawdziwa jest zależność:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {tg} {\frac {a-b}{2}}}{\operatorname {tg} {\frac {a+b}{2}}}}={\frac {\operatorname {tg} {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\operatorname {tg} {\frac {\alpha +\beta }{2}}}},}$

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Law of Tangents, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-03-07].