Krzywa Vivianiego

Krzywa Vivianiego (rzadziej okno Vivianiego) – krzywa będąca częścią wspólną przecinających się sfery i powierzchni bocznej (pewnej ograniczonej części) nieskończenie wysokiego walca.

W kartezjańskim układzie współrzędnych, krzywą Vivianiego można opisać parametrycznie równaniami:

${\displaystyle x=R\sin ^{2}t,}$

${\displaystyle y=R\sin t\cos t,}$

${\displaystyle z=R\cos t.}$

Długość całej krzywej wyraża się całką eliptyczną zupełną drugiego rodzaju:

${\displaystyle l=4R\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1+\sin ^{2}t}}dt=4{\sqrt {2}}R\cdot E\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right).}$

• Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy, t. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966, s. 160.

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Viviani's Curve, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).