P-grupa

Centrum ${\displaystyle p}$-grupy jest nietrywialne, to znaczy, że ${\displaystyle Z(G)\neq \{e\},}$ gdzie ${\displaystyle e}$ jest elementem neutralnym ${\displaystyle p}$-grupy (jak wiadomo, ${\displaystyle e\in Z(G)}$).

Dowód. Niech ${\displaystyle G}$ będzie ${\displaystyle p}$-grupą, tj. ${\displaystyle |G|=p^{k}}$ dla pewnej liczby ${\displaystyle k}$ oraz niech funkcja

${\displaystyle \phi \colon G\times G\to G}$

dane wzorem

${\displaystyle \phi (g,x)=gxg^{-1}.}$

Odwzorowanie ${\displaystyle \phi }$ jest działaniem grupy ${\displaystyle G}$ na sobie (czyli na zbiorze ${\displaystyle G}$).

Ponieważ

${\displaystyle x\in Z(G)\iff \forall _{g\in G}gxg^{-1}=x\iff \forall _{g\in G}\phi (g,x)=x,}$

więc orbita ${\displaystyle G(x)}$ elementu ${\displaystyle x}$ jest jednoelementowa wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle x}$ jest elementem centrum ${\displaystyle Z(G).}$

Jeśli orbita ${\displaystyle p}$-grupy ${\displaystyle G}$ ma więcej niż jeden element, to liczba jej elementów jest podzielna przez ${\displaystyle p{:}}$

${\displaystyle \forall _{x\in G}|G(x)|>1\Rightarrow p||G(x)|.}$

Istotnie, stabilizator ${\displaystyle G_{x}}$ jest wtedy pogrupą ${\displaystyle G}$ i jego rząd dzieli rząd G (wniosek z twierdzenia Lagrange’a), czyli ${\displaystyle |G_{x}|=p^{n},}$ gdzie ${\displaystyle n<k}$ (bo gdyby ${\displaystyle n=k,}$ to orbita byłaby jednoelementowa). Wówczas

${\displaystyle |G(x)|=|G:G_{x}|={\frac {|G|}{|G_{x}|}}={\frac {p^{k}}{p^{n}}}=p^{k-n}=p^{t},}$ gdzie ${\displaystyle t=k-n>0,}$ czyli ${\displaystyle p||G(x)|.}$

${\displaystyle G}$ jest sumą wszystkich orbit, więc:

${\displaystyle G=\bigcup G(x)=\bigcup _{|G(x)|=1}G(x)\cup \bigcup _{|G(x)|>1}G(x).}$

Stąd

${\displaystyle p^{k}=|G|=\sum \limits _{|G(x)|=1}|G(x)|+\sum \limits _{|G(x)|>1}|G(x)|=|Z(G)|+p\cdot s}$

dla pewnego s. Stąd ${\displaystyle p||Z(G)|,}$ ale ${\displaystyle |Z(G)|>0,}$ bo ${\displaystyle e\in Z(G),}$ więc ${\displaystyle |Z(G)|\geqslant p.}$