Splot (teoria grup)

Splot lub produkt splotowy – szczególny rodzaj produktu grup opartego na produkcie półprostym. Splot jest ważnym narzędziem ułatwiającym klasyfikację grup permutacji i konstrukcję interesujących przykładów grup.

Niech ${\displaystyle H}$ i ${\displaystyle K}$ będą grupami działającymi odpowiednio na zbiorach ${\displaystyle X}$ oraz ${\displaystyle Y.}$ Dla ${\displaystyle h\in H,\ y\in Y}$ oraz ${\displaystyle k\in K}$ definiuje się następujące permutacje ${\displaystyle h_{\mathrm {y} }}$ oraz ${\displaystyle k^{\star }}$ zbioru ${\displaystyle Z=X\times Y{:}}$

${\displaystyle h_{\mathrm {y} }\colon {\begin{cases}(\mathrm {x} ,\mathrm {y} )\mapsto (h\cdot \mathrm {x} ,\mathrm {y} ),\\(\mathrm {x} ,{\hat {\mathrm {y} }})\mapsto (\mathrm {x} ,{\hat {\mathrm {y} }}){\text{ dla }}{\hat {\mathrm {y} }}\neq \mathrm {y} \end{cases}}}$

oraz

${\displaystyle k^{\star }\colon (\mathrm {x} ,\mathrm {y} )\mapsto (\mathrm {x} ,k\cdot \mathrm {y} ).}$

Ponieważ ${\displaystyle \left(h^{-1}\right)_{\mathrm {y} }=\left(h_{\mathrm {y} }\right)^{-1}}$ oraz ${\displaystyle \left(k^{-1}\right)^{\star }=\left(k^{\star }\right)^{-1},}$ to ${\displaystyle h_{\mathrm {y} }}$ oraz ${\displaystyle k^{\star }}$ istotnie są permutacjami, przez co są dobrze określone. Funkcje ${\displaystyle h\mapsto h_{\mathrm {y} }}$ przy ustalonym ${\displaystyle \mathrm {y} \in Y}$ oraz ${\displaystyle k\mapsto k^{\star }}$ są monomorfizmami odpowiednio grup ${\displaystyle H}$ oraz ${\displaystyle K}$ w grupę ${\displaystyle \operatorname {Sym} (Z)}$ o obrazach odpowiednio ${\displaystyle H_{\mathrm {y} }}$ oraz ${\displaystyle K^{\star }.}$

Splotem lub produktem splotowym grup ${\displaystyle H}$ oraz ${\displaystyle K}$ nazywa się grupę permutacji na ${\displaystyle Z}$ generowaną przez ${\displaystyle K^{\star }}$ i grupy ${\displaystyle H_{\mathrm {y} }}$ dla wszystkich ${\displaystyle \mathrm {y} \in Y.}$ W zapisie symbolicznym

${\displaystyle H\wr K=\langle H_{\mathrm {y} },K^{\star }\colon \mathrm {y} \in Y\rangle .}$

Ponieważ ${\displaystyle k^{\star }h_{\mathrm {y} }\left(k^{\star }\right)^{-1}}$ przekształca ${\displaystyle (\mathrm {x} ,k\cdot \mathrm {y} )}$ w element ${\displaystyle (h\cdot \mathrm {x} ,k\cdot \mathrm {y} )}$ i nie porusza ${\displaystyle ({\hat {\mathrm {x} }},{\hat {\mathrm {y} }}),}$ o ile ${\displaystyle {\hat {\mathrm {y} }}\neq k\cdot \mathrm {y} ,}$ to z definicji jest

${\displaystyle k^{\star }h_{\mathrm {y} }\left(k^{\star }\right)^{-1}=h_{k\cdot \mathrm {y} }}$ oraz ${\displaystyle k^{\star }H_{\mathrm {y} }\left(k^{\star }\right)^{-1}=H_{k\cdot \mathrm {y} }.}$

(1)

Ponadto jeśli ${\displaystyle \mathrm {y} \neq {\hat {\mathrm {y} }},}$ to permutacje ${\displaystyle h_{\mathrm {y} }}$ i ${\displaystyle h_{\hat {\mathrm {y} }}}$ nie mogą poruszyć tego samego elementu ${\displaystyle Z.}$ Wynika stąd, że grupy ${\displaystyle H_{\mathrm {y} }}$ generują swój iloczyn prosty ${\displaystyle B}$ nazywany zwykle nośnikiem (ang. base group) splotu:

${\displaystyle B=\bigoplus _{\mathrm {y} \in Y}H_{\mathrm {y} }.}$

Zgodnie z (1) sprzężenie elementem ${\displaystyle k^{\star }\in K^{\star }}$ permutuje składniki proste ${\displaystyle H_{\mathrm {y} }}$ dokładnie w ten sam sposób, co ${\displaystyle k}$ elementy ${\displaystyle Y.}$ Skoro elementy ${\displaystyle K^{\star }}$ oraz ${\displaystyle B}$ nie mogą poruszać tego samego elementu ${\displaystyle Z,}$ to grupa ${\displaystyle K^{\star }\cap B}$ musi być trywialna. Ponieważ ${\displaystyle B\triangleleft W}$ oraz ${\displaystyle W=K^{\star }B,}$ to ${\displaystyle W}$ jest iloczynem półprostym ${\displaystyle B}$ przez ${\displaystyle K^{\star },}$ w którym automorfizm ${\displaystyle B}$ wyznaczany przez element ${\displaystyle K^{\star }}$ zadany jest wzorem (1). Dla uproszczenia notacji utożsamia się zwykle element ${\displaystyle k^{\star }}$ z elementem ${\displaystyle k,}$ czyli przyjmuje ${\displaystyle K=K^{\star }.}$

• Jeśli ${\displaystyle H}$ oraz ${\displaystyle K}$ działają w sposób przechodni, to również ${\displaystyle H\wr K}$ działa w ten sposób.
• Niech ${\displaystyle L}$ będzie grupą permutacji zbioru ${\displaystyle U,}$ zaś ${\displaystyle f\colon (X\times Y)\times U\to X\times (Y\times U)}$ będzie bijekcją odwzorowującą ${\displaystyle {\Big (}(\mathrm {x} ,\mathrm {y} ),\mathrm {u} {\Big )}\mapsto {\Big (}\mathrm {x} ,(\mathrm {y} ,\mathrm {u} ){\Big )},}$ a ${\displaystyle \varphi }$ funkcją ${\displaystyle g\mapsto f\left(g\cdot f^{-1}\right),}$ tzn. dla dowolnego ${\displaystyle \mathrm {y} \in Y}$ zachodzi ${\displaystyle g\cdot \mathrm {y} \mapsto f{\Big (}g\cdot f^{-1}(\mathrm {y} ){\Big )}.}$ Wówczas ${\displaystyle (\varphi ,f)}$ ustanawia podobieństwo ${\displaystyle (H\wr K)\wr L}$ oraz ${\displaystyle H\wr (K\wr L).}$ Innymi słowy splot jest działaniem łącznym względem podobieństwa grup.

Niech ${\displaystyle N}$ oraz ${\displaystyle G}$ będą dowolnymi grupami. Niech dla każdego ${\displaystyle x\in G}$ symbol ${\displaystyle N_{x}}$ oznacza grupę izomorficzną z ${\displaystyle N}$ poprzez przekształcenie ${\displaystyle a\mapsto a_{x}.}$ Niech

${\displaystyle B=\prod _{x\in G}N_{x}}$

będzie iloczynem kartezjańskim, zaś dla ${\displaystyle b\in B}$ oraz ${\displaystyle g\in G}$ niech działanie ${\displaystyle g\cdot b}$ dane będzie wzorem

${\displaystyle (g\cdot b)_{x}=b_{g^{-1}x}.}$

Powyższe działanie ${\displaystyle G}$ na ${\displaystyle B}$ zadaje iloczyn półprosty ${\displaystyle W=G\ltimes B,}$ który nazywa się standardowym zupełnym splotem ${\displaystyle N\ {\bar {\wr }}\ B,}$ przy czym ${\displaystyle B}$ nazywa się nośnikiem (ang. base group).

• Konstrukcja na PlanetMath
• Konstrukcja na Springer Online