Przykłady grup

Évariste Galois (1811–1832), pionier teorii grup^[1]

Jest to spis przykładowych grup w sensie matematycznym, pochodzących z różnych działów matematyki, zarówno elementarnej, jak i wyższej. Przykładów grup dostarczają między innymi teoria mnogości, arytmetyka, algebra i geometria – grupy są tworzone między innymi przez zbiory, liczby, funkcje, macierze i wektory. Poniższa lista ma kilkadziesiąt punktów, przy czym niektóre z nich opisują nieskończone zbiory grup.

Grupy z dodawaniem

Oś liczbowa – interpretacja geometryczna zbioru liczb rzeczywistych

Wektory na płaszczyźnie mogą być dodawane i odejmowane, a przez własności tych działań tworzą grupę addytywną

W tych grupach działaniem jest dodawanie. Takie grupy bywają zaliczane do addytywnych, ale nie zawsze, ponieważ ten termin ma też inne znaczenia, opisane w odpowiednim artykule.

Dodawanie liczb

Liczby całkowite^[2]^[3] $\mathbb {Z$ ;} $\mathbb {Z} ;$
- liczby parzyste lub dowolny zbiór wielokrotności ustalonej liczby całkowitej^[4] $n\mathbb {Z} ,n\in \mathbb {Z$
- w szczególności zero z dodawaniem to przykład grupy trywialnej^[5];
liczby wymierne^[4]^[3] $\mathbb {Q$
liczby rzeczywiste^[4]^[3] $\mathbb {R$ ;} $\mathbb {R} ;$
- liczby rzeczywiste postaci $a+b{\sqrt {2}}$ , gdzie liczby $a,b$ są wymierne^[6]: $a,b\in \mathbb {Q$
liczby zespolone^[4] $\mathbb {C$
liczby całkowite modulo dowolna liczba całkowita dodatnia^[7] $\mathbb {Z} _{n},n\in \mathbb {Z} _{+};$
liczby rzeczywiste modulo 1 $(\mathbb {R} /(1))$ – przedział $[0;1)$ z działaniem^[8]:

a\oplus b={\begin{cases}a+b&{\text{dla }}a+b<1\\a+b-1&{\text{dla }}a+b\geqslant 1;\end{cases}}

analogiczny zbiór liczb rzeczywistych modulo dowolna liczba rzeczywista dodatnia^[9]: $\mathbb {R} /(d),d\in \mathbb {R} _{+};$ $\mathbb {R} /(d),d\in \mathbb {R} _{+};$
- analogiczny zbiór liczb wymiernych modulo dowolna liczba wymierna dodatnia^[9]: $\mathbb {Q} /(d),d\in \mathbb {Q} _{+}.$

Dodawanie innych obiektów

Potęgi kartezjańskie powyższych zbiorów – zbiory krotek złożonych z ich elementów, np. $\mathbb {Z} ^{n}=\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \times ...\times \mathbb {Z} ,\ \mathbb {Q} ^{n},\ \mathbb {R} ^{n},\ \mathbb {C} ^{n}$ itd., z dodawaniem odpowiednich elementów^[9]:

(a_{i})_{i=1}^{n}+(b_{i})_{i=1}^{n}=(a_{i}+b_{i})_{i=1}^{n}.

Niektóre z nich są nazywane przestrzeniami współrzędnych, a

\mathbb {R} ^{n}

– przestrzeniami kartezjańskimi^[10];

wektory na prostej, płaszczyźnie lub w dowolnej innej przestrzeni euklidesowej^[9];
zbiory wielomianów o współczynnikach z powyższych grup: $\mathbb {Z} [X],\ \mathbb {Q} [X],\ \mathbb {R} [X],\ \mathbb {C} [X]$ itp.^[11]

Grupy z mnożeniem liczb

Okrąg jednostkowy na diagramie Arganda – płaszczyźnie zespolonej z kartezjańskim układem współrzędnych

W poniższych grupach działaniem jest mnożenie liczb:

niezerowe liczby wymierne^[11]^[3] $\mathbb {Q} _{\neq 0};$ $\mathbb {Q} _{\neq 0};$
- jedynka i minus jedynka^[4] $\{1,-1\};$
- dodatnie liczby wymierne^[7]^[3] $\mathbb {Q} _{+};$
- jedynka z mnożeniem to inny przykład grupy trywialnej^[5];
niezerowe liczby rzeczywiste^[4]^[3] $\mathbb {R} _{\neq 0};$ $\mathbb {R} _{\neq 0};$
- dodatnie liczby rzeczywiste^[4]^[3] $\mathbb {R} _{+};$
- liczby rzeczywiste postaci $a+b{\sqrt {2}}$ , gdzie liczby $a,b$ są wymierne i nie są jednocześnie zerowe: $a,b\in \mathbb {Q} ,(a,b)\neq (0,0)$ ^[12];
niezerowe liczby zespolone^[4] $\mathbb {C} _{\neq 0};$ $\mathbb {C} _{\neq 0};$
- liczby zespolone o module jednostkowym^[4]^[3] – grupa okręgu $\mathbb {C} _{1};$
- pierwiastki algebraiczne ustalonego stopnia z jedynki^[13]: $\mathbb {E} _{n}=\{z\in \mathbb {C} :z^{n}=1\}.$

Takie grupy bywają zaliczane do multiplikatywnych, ale nie zawsze, ponieważ ten termin ma też inne znaczenia, opisane w odpowiednim artykule.

Grupy przekształceń

Wykres przykładowej funkcji liniowej w kartezjańskim układzie współrzędnych

W ich przypadku działaniem jest złożenie funkcji. Elementy rozważanych grup to bijekcje i jednocześnie funkcje, dla których przeciwdziedzina pokrywa się dziedziną – działania jednoargumentowe: $f:X\to X.$

Funkcje rzeczywiste

Rzeczywiste funkcje 1. stopnia^[14]:

f(x)=ax+b,\ a\in \mathbb {R} _{\neq 0},b\in \mathbb {R

uogólnienie powyższych – rzeczywiste homografie^[15]:

f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}},\ a,b,c,d\in \mathbb {R} ,\

ad-bc\neq 0;

cztery przykłady takich homografii, konkretniej proporcjonalności – dwóch prostych i dwóch odwrotnych^[14]:

id(x)=x,\ f(x)=-x,\ g(x)={\frac {1}{x}},

h(x)=f\circ g(x)=g\circ f(x)=-{\frac {1}{x}};

Tablica Cayleya tej grupy^[16]:


$\circ$	$id$	$f$	$g$	$h$
$id$	$id$	$f$	$g$	$h$
$f$	$f$	$id$	$h$	$g$
$g$	$g$	$h$	$id$	$f$
$h$	$h$	$g$	$f$	$id$

sześć przykładów rzeczywistych homografii^[15]:

id(x)=x,\ f(x)=1-x,\ g(x)={\frac {1}{x}},

k(x)=f\circ g(x)=1-{\frac {1}{x}}={\frac {x-1}{x}};

l(x)=g\circ f(x)={\frac {1}{1-x}};

m(x)=g\circ k(x)={\frac {x}{x-1}};

bijekcje zbioru liczb rzeczywistych w siebie, dla których $f(1)=1$ , czyli jedynka jest punktem stałym^[17]; por. stabilizator;
bijekcje zbioru liczb rzeczywistych w siebie, dla których $f(\mathbb {Q} )=\mathbb {Q}$ – obrazem zbioru liczb wymiernych jest on sam^[17]; por. zbiór niezmienniczy;
bijekcje zbioru liczb rzeczywistych w siebie, które są rosnące^[17];
bijekcje zbioru liczb rzeczywistych w siebie, które są ściśle monotoniczne^[17].

Inne funkcje

Trójkąt równoboczny ma trzy osie symetrii i zachowuje ustawienie przy trzech obrotach wokół środka – o 120°, 240° i 360°. Dlatego mówi się, że jego grupa diedralna ma 6 elementów. Jest ona izomorficzna z trzecią grupą permutacji^[18]: $D_{3}\cong S_{3}.$

Grupy bijekcji – zbiór wzajemnie jednoznacznych przekształceń zbioru w siebie, czasem też nazywany grupą symetryczną^[19] $S_{X},$ $S_{X},$ gdzie $X$ $X$ to dowolny zbiór;
- grupy permutacji – bijekcji zbioru skończonego w siebie^[20] $S_{n},n\in \mathbb {N$
- grupy alternujące – permutacji parzystych ustalonego zbioru^[21] $A_{n},n\in \mathbb {N$
- funkcja tożsamościowa na dowolnym zbiorze $id(x)=x$ to inny przykład grupy trywialnej^[5];
grupa izometrii płaszczyzny euklidesowej^[14]: $I(E^{2});$ $I(E^{2});$
- grupy diedralne – wszystkich izometrii własnych wielokąta foremnego^[22]: $D_{n},n\in \mathbb {N} _{\geqslant 3};$
pełne grupy liniowe – grupy wszystkich izomorfizmów liniowych ustalonej przestrzeni liniowej: ${\text{GL}}(n,K),$ gdzie $n\in \mathbb {N} ,$ a $K$ to dowolne ciało^[23]. Inne znaczenie terminu pełna grupa liniowa, związane z macierzami kwadratowymi, podano niżej.

Grupy z mnożeniem macierzy

Macierze kwadratowe:

odwracalne (nieosobliwe) elementów ustalonego ciała^[24] i ustalonego wymiaru – taka grupa to jedno ze znaczeń terminu pełna grupa liniowa^[25]^[26]: ${\text{GL}}(n,K).$ Inne znaczenie tej nazwy podano wyżej;
postaci^[27]: ${\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}},\ a\in \mathbb {R$
postaci^[15]: ${\begin{bmatrix}(-1)^{a}&a\\0&(-1)^{a}\end{bmatrix}},\ a\in \mathbb {Z$
postaci^[14]: ${\begin{bmatrix}1&0&a\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ a\in \mathbb {C} .$

Inne grupy

Diagram Venna dla $A\Delta B$ – różnica symetryczna zbiorów jest oznaczona fioletowo

Grupy są też tworzone przez działania dwuargumentowe inne niż dodawanie, mnożenie liczb, złożenie funkcji czy mnożenie macierzy.

Grupy liczb

Liczby całkowite $\mathbb {Z}$ z działaniem^[27]: $a\oplus b=(-1)^{a}a+(-1)^{b}b;$
liczby wymierne bez jedynki $\mathbb {Q} _{\neq 1}$ z działaniem^[3]: $a*b=a+b-ab;$
przedział otwarty $(1;+\infty )$ z działaniem^[28]: $a*b=ab-a-b+2.$

Grupy innych obiektów

Podzbiory ustalonego zbioru – czyli zbiór potęgowy – z działaniem różnicy symetrycznej^[29]^[15]: $({\mathcal {P}}(X),\Delta ),$ $({\mathcal {P}}(X),\Delta ),$ gdzie:
- $X$ to dowolny zbiór;
- ${\mathcal {P}}(X)$ – jego zbiór potęgowy;
- $\Delta$ to różnica symetryczna: $A\Delta B=(A\cup B)\setminus (A\cap B).$
Jeśli $(G,*)$ jest dowolną grupą, a $X$ – dowolnym zbiorem, to grupą jest też zbiór wszystkich funkcji na tym zbiorze i o wartościach w tej grupie, z odpowiednim działaniem na tych funkcjach^[3]:

G^{X}:=\{f:X\to G\},

(f*g)(x):=f(x)*g(x);

Jeśli jednocześnie:
- $(G_{1},*)$ jest dowolną grupą;
- $f:G_{1}\to G_{2}$ jest dowolną bijekcją na zbiorze $G_{1};$
- działanie dwuargumentowe $\odot :G_{2}^{2}\to G_{2}$ jest zdefiniowane wzorem

a\odot b:=f(f^{-1}(a)*f^{-1}(b)),

to

(G_{2},\odot )

jest grupą^[27].

Zobacz też

Przypisy

↑ Galois Évariste, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2025-05-08] .
↑ grupa, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-09-04] .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Barbara Opozda, Małgorzata Downarowicz i Dominik Kwietniak, Algebra liniowa z geometrią analityczną, ćwiczenia 1: Grupy i ciała, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego (MIM UW), wazniak.mimuw.edu.pl [dostęp 2024-12-15].
1 2 3 4 5 6 7 8 9 Bryński i Jurkiewicz 1985 ↓, s. 7, 104.
1 2 3 Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Trivial Group, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-09-05].
↑ Ptak, Gryszka i Hejmej 2019 ↓, s. 11.
1 2 Opial 1972 ↓, s. 67.
↑ Opial 1972 ↓, s. 67–68.
1 2 3 4 Opial 1972 ↓, s. 68.
↑ przestrzeń kartezjańska, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-09-05] .
1 2 Ptak, Gryszka i Hejmej 2019 ↓, s. 10.
↑ Opial 1972 ↓, s. 70.
↑ Opial 1972 ↓, s. 68–69.
1 2 3 4 Ptak, Gryszka i Hejmej 2019 ↓, s. 16.
1 2 3 4 Ptak, Gryszka i Hejmej 2019 ↓, s. 17.
↑ Ptak, Gryszka i Hejmej 2019 ↓, s. 172.
1 2 3 4 Ptak, Gryszka i Hejmej 2019 ↓, s. 18.
↑ Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Dihedral Group D_3, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-09-05].
↑ Opial 1972 ↓, s. 72.
↑ Ptak, Gryszka i Hejmej 2019 ↓, s. 20.
↑ grupa prosta, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-09-04] .
↑ Ptak, Gryszka i Hejmej 2019 ↓, s. 19.
↑ Algebra liniowa z geometrią analityczną, wykład 6: Macierze a odwzorowania liniowe, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego (MIM UW), waznika.mimuw.edu.pl [dostęp 2024-12-15].
↑ Bryński i Jurkiewicz 1985 ↓, s. 8, 104.
↑ Bryński i Jurkiewicz 1985 ↓, s. 21.
↑ Algebra liniowa z geometrią analityczną, wykład 5: Macierze, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego (MIM UW), wazniak.mimuw.edu.pl [dostęp 2024-12-15].
1 2 3 Ptak, Gryszka i Hejmej 2019 ↓, s. 15.
↑ Ptak, Gryszka i Hejmej 2019 ↓, s. 14.
↑ Smoluk 2017 ↓, s. 49.

Bibliografia

Maciej Bryński, Jerzy Jurkiewicz: Zbiór zadań z algebry. Wyd. III. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1985. ISBN 83-01-06575-3.
Zdzisław Opial: Algebra wyższa. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1972.
Marek Ptak, Karol Gryszka, Beata Hejmej: Algebra liniowa. Notatki do wykładu. Kraków: Wydawnictwo Szkolne Omega, 2019. ISBN 978-83-7267-734-1.
Antoni Smoluk: Algebra liniowa. Wrocław: Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu, 2017. ISBN 978-83-7695-635-0.

[1] Galois Évariste, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2025-05-08] .

[epwn-2] grupa, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-09-04] .

[wazniak-3] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Barbara Opozda, Małgorzata Downarowicz i Dominik Kwietniak, Algebra liniowa z geometrią analityczną, ćwiczenia 1: Grupy i ciała, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego (MIM UW), wazniak.mimuw.edu.pl [dostęp 2024-12-15].

[CITEREFBryńskiJurkiewicz19857,_104-4] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Bryński i Jurkiewicz 1985 ↓, s. 7, 104.

[mw-5] 1 2 3 Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Trivial Group, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-09-05].

[CITEREFPtakGryszkaHejmej201911-6] Ptak, Gryszka i Hejmej 2019 ↓, s. 11.

[CITEREFOpial197267-7] 1 2 Opial 1972 ↓, s. 67.

[CITEREFOpial197267–68-8] Opial 1972 ↓, s. 67–68.

[CITEREFOpial197268-9] 1 2 3 4 Opial 1972 ↓, s. 68.

[10] przestrzeń kartezjańska, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-09-05] .

[CITEREFPtakGryszkaHejmej201910-11] 1 2 Ptak, Gryszka i Hejmej 2019 ↓, s. 10.

[CITEREFOpial197270-12] Opial 1972 ↓, s. 70.

[CITEREFOpial197268–69-13] Opial 1972 ↓, s. 68–69.

[CITEREFPtakGryszkaHejmej201916-14] 1 2 3 4 Ptak, Gryszka i Hejmej 2019 ↓, s. 16.

[CITEREFPtakGryszkaHejmej201917-15] 1 2 3 4 Ptak, Gryszka i Hejmej 2019 ↓, s. 17.

[CITEREFPtakGryszkaHejmej2019172-16] Ptak, Gryszka i Hejmej 2019 ↓, s. 172.

[CITEREFPtakGryszkaHejmej201918-17] 1 2 3 4 Ptak, Gryszka i Hejmej 2019 ↓, s. 18.

[18] Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Dihedral Group D_3, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-09-05].

[CITEREFOpial197272-19] Opial 1972 ↓, s. 72.

[CITEREFPtakGryszkaHejmej201920-20] Ptak, Gryszka i Hejmej 2019 ↓, s. 20.

[21] grupa prosta, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-09-04] .

[CITEREFPtakGryszkaHejmej201919-22] Ptak, Gryszka i Hejmej 2019 ↓, s. 19.

[23] Algebra liniowa z geometrią analityczną, wykład 6: Macierze a odwzorowania liniowe, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego (MIM UW), waznika.mimuw.edu.pl [dostęp 2024-12-15].

[CITEREFBryńskiJurkiewicz19858,_104-24] Bryński i Jurkiewicz 1985 ↓, s. 8, 104.

[CITEREFBryńskiJurkiewicz198521-25] Bryński i Jurkiewicz 1985 ↓, s. 21.

[26] Algebra liniowa z geometrią analityczną, wykład 5: Macierze, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego (MIM UW), wazniak.mimuw.edu.pl [dostęp 2024-12-15].

[CITEREFPtakGryszkaHejmej201915-27] 1 2 3 Ptak, Gryszka i Hejmej 2019 ↓, s. 15.

[CITEREFPtakGryszkaHejmej201914-28] Ptak, Gryszka i Hejmej 2019 ↓, s. 14.

[CITEREFSmoluk201749-29] Smoluk 2017 ↓, s. 49.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]