Całka podwójna

Całka podwójna to całka po dwóch zmiennych z funkcji dwóch zmiennych ${\displaystyle z=f(x,y){:}}$

${\displaystyle \iint \limits _{D}f(x,y)\;dx\;dy.}$

Całka ta ma interpretację objętości zawartej między płaszczyzną ${\displaystyle z=0}$ a powierzchnią ${\displaystyle z=f(x,y).}$

Jest szczególnym przypadkiem całki wielokrotnej.

Jeżeli ${\displaystyle D}$ jest obszarem normalnym względem osi OX, tzn. ${\displaystyle D=\{a\leqslant x\leqslant b;\ g(x)\leqslant y\leqslant h(x)\},}$ to

${\displaystyle \iint \limits _{D}f(x,y)\;dx\;dy=\int \limits _{a}^{b}{\bigg (}\int \limits _{g(x)}^{h(x)}f(x,y)\;dy{\bigg )}\;dx.}$

Analogicznie zamieniamy na całkę iterowaną całkę po obszarze normalnym względem osi OY. (Prostokąt jest obszarem normalnym zarówno względem osi OX, jak i OY). Jeżeli obszar ${\displaystyle D}$ nie jest obszarem normalnym, dzielimy go na obszary normalne.

Załóżmy, że obszar regularny domknięty ${\displaystyle D}$ jest obrazem obszaru regularnego domkniętego ${\displaystyle \Omega }$ we wzajemnie jednoznacznym przekształceniu

${\displaystyle \Phi =\{x=x(u,v),\ y=y(u,v)\},}$

które jest klasy C¹ w pewnym obszarze zawierającym obszar ${\displaystyle \Omega ,}$ oraz

którego jakobian ${\displaystyle J={\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}x'_{u}&x'_{v}\\y'_{u}&y'_{v}\end{vmatrix}}}$ jest różny od zera wewnątrz ${\displaystyle \Omega ,}$

zaś ${\displaystyle f}$ jest dowolną funkcją ciągłą w ${\displaystyle D.}$ Wtedy

${\displaystyle \iint \limits _{D}f(x,y)\;dx\;dy=\iint \limits _{\Omega }f(x(u,v),\ y(u,v))|J|\;du\;dv.}$

Uwaga. ${\displaystyle |J|}$ oznacza wartość bezwzględną jakobianu, zaś ${\displaystyle x'_{u}={\frac {\partial x}{\partial u}},\ x'_{v}={\frac {\partial x}{\partial v}},\ y'_{u}={\frac {\partial y}{\partial u}},\ y'_{v}={\frac {\partial y}{\partial v}}}$ oznaczają pochodne cząstkowe.

• całka powierzchniowa