Twierdzenie o pizzy

Twierdzenie o pizzy (ang. pizza theorem) – twierdzenie mówiące o równości pól dwóch obszarów w pewnych podziałach koła.

Niech ${\displaystyle n}$ będzie liczbą naturalną podzielną przez ${\displaystyle 4}$ i nie mniejszą od ${\displaystyle 8}$. Wówczas, jeżeli

• koło podzielono na ${\displaystyle n}$ obszarów za pomocą ${\displaystyle n}$ półprostych wychodzących z jednego punktu (może to być dowolny punkt wewnątrz koła),
• kąty między każdymi dwoma kolejnymi półprostymi mają równe miary (${\displaystyle 360/n^{\circ }}$ każdy),
• wycinki między kolejnymi półprostymi ponumerowano kolejnym liczbami naturalnymi od ${\displaystyle 1}$ do ${\displaystyle n}$ (dowolnie wybierając obszar o numerze ${\displaystyle 1}$),

to suma pól obszarów o numerach nieparzystych jest równa sumie pól obszarów o numerach parzystych^[2].

Twierdzenie to zawdzięcza swoją nazwę temu, że może zostać wykorzystane do sprawiedliwego podziału okrągłej pizzy pomiędzy dwie osoby.

Mabry i Deiermann (2009)^[3] rozwiązali problem Cartera i Wagona (1994)^[4] i uściślili twierdzenie, określając który z dwóch wyborów daje większą powierzchnię w przypadku, gdy obszary te nie są równe. Jeśli n mod 8 = 2 oraz żadne cięcie nie przechodzi przez środek koła to podzbiór wycinków z wycinkiem zawierającym centrum ma mniejszą powierzchnię niż drugi podzbiór. Jeśli n mod 8 = 6 i żadne cięcie nie przechodzi przez środek, to podzbiór z wycinkiem zawierającym środek ma większy obszar. Nieparzystej liczby wycinków nie da się uzyskać w wyniku cięć prostoliniowych, a cięcie przez środek powoduje, że oba podzbiory są równe bez względu na liczbę wycinków.

Hirschhorn zauważył również, że n kawałków pizzy (dla n podzielnego przez 4) można rozdzielić po równo między n/4 osób^[5], np. 12 kawałków można rozdzielić po równo między 2 oraz 12/4=3 osoby.

• jeden dzieli, drugi wybiera