Równania Kirchhoffa

Równania Kirchhoffa to równania różniczkowe opisujące stan równowagi statycznej obciążonego pręta zakrzywionego przestrzennie^[1][2].

Do opisu tego stanu trzeba posłużyć się dwoma układami współrzędnych: nieruchomym kartezjańskim ${\displaystyle 0xyz}$ o wersorach osi ${\displaystyle \mathbf {i} ,\,\mathbf {j} ,\,\mathbf {k} }$ i ruchomym układem Freneta ${\displaystyle 0\xi _{1}\xi _{2}\xi _{3}}$ o wersorach osi ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}$ wyznaczających kierunki prostych: stycznej, normalnej głównej i binormalnej do osi pręta.

Oś pręta jest określona parametrycznie^[3]

${\displaystyle x_{1}=x_{1}(t),\quad x_{2}=x_{2}(t),\quad x_{3}=x_{3}(t).}$

(0)

Rozważać będziemy element pręta o długości ${\displaystyle ds,}$ wycięty z niego dwoma przecięciami ${\displaystyle S,\,dS}$ w punktach ${\displaystyle s,\,ds.}$

W wyniku tych przecięć powstają cztery przekroje poprzeczne

${\displaystyle S^{(+)},\,S^{(-)},\,dS^{(+)},\,dS^{(-)}.}$

Znaki ${\displaystyle (+),\,(-)}$ określają zwroty normalnych zewnętrznych tych przekrojów odniesione do dodatniego zwrotu osi ${\displaystyle 0x}$ określonego wersorem ${\displaystyle \mathbf {i} .}$

Wersory Freneta i ich pochodne można zapisać następująco^[4]

${\displaystyle \mathbf {r} =r_{x}\mathbf {i} +r_{y}\mathbf {j} +r_{z}\mathbf {k} ,\quad \mathbf {e} _{1}=\mathbf {r} ^{'},\quad \mathbf {e} _{2}={\frac {1}{\kappa }}\mathbf {e} _{1}^{'},\quad \mathbf {e} _{3}=\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2},}$

(1)

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}^{'}=\kappa \mathbf {e} _{2},\quad \mathbf {e} _{2}^{'}=-\kappa \mathbf {e} _{1}-\tau \mathbf {e} _{3},\quad \mathbf {e} _{3}^{'}=\tau \mathbf {e} _{2},}$

(2)

gdzie:

${\displaystyle \kappa }$ – jest krzywizną osi łuku,

${\displaystyle \tau }$ – jego torsją,

a różniczkowanie odbywa się po zmiennej ${\displaystyle s.}$

Redukcja obciążeń zewnętrznych działających na lewo od środka ciężkości przekroju pręta ${\displaystyle S^{(-)}}$ w punkcie jego osi o współrzędnej ${\displaystyle s,}$ daje w wyniku wartości sił przekrojowych w tym przekroju

${\displaystyle \mathbf {P} _{s}=\mathbf {P} _{o}+\int _{0}^{s}\!\!\mathbf {q} (\sigma )d\sigma ,}$ ${\displaystyle \mathbf {M} _{s}=\mathbf {M} _{o}+\mathbf {P} _{o}\times (\mathbf {r} _{o}-\mathbf {r} _{s})+\int _{0}^{s}\!\!\mathbf {m} (\sigma )d\sigma +\int _{0}^{s}\!\!\mathbf {q} (\sigma )\times (\mathbf {r} _{\sigma }-\mathbf {r} _{s})d\sigma ,}$

(3)

gdzie ${\displaystyle \mathbf {P} _{o}}$ i ${\displaystyle \mathbf {M} _{o}}$ są obciążeniami w przekroju początkowym pręta, dla którego ${\displaystyle s=0,}$ a

${\displaystyle \mathbf {q} (\sigma )=q_{1}(\sigma )\mathbf {e} _{1}+q_{2}(\sigma )\mathbf {e} _{2}+q_{3}(\sigma )\mathbf {e} _{3},}$ ${\displaystyle \mathbf {m} (\sigma )=m_{1}(\sigma )\mathbf {e} _{1}+m_{2}(\sigma )\mathbf {e} _{2}+m_{3}(\sigma )\mathbf {e} _{3}}$

(4)

są obciążeniami rozłożonymi w sposób ciągły wzdłuż osi.

Wektory ${\displaystyle \mathbf {r} _{o}=\mathbf {r} (s=0),\,\mathbf {r} _{\sigma }=r(s=\sigma ),\,\mathbf {r} _{s}=r(s)}$ są wektorami wodzącymi punktów ${\displaystyle 0,L,S}$ na osi łuku.

Na długości elementu nie występują żadne obciążenia skupione.

W wyniku lewostronnej redukcji obciążeń do środka ciężkości przekroju ${\displaystyle dS^{(-)}}$ otrzymujemy

${\displaystyle \mathbf {P} _{s}+d\mathbf {P} _{s}=\mathbf {P} _{s}+\mathbf {q} (s)ds,}$ ${\displaystyle \mathbf {M} _{s}+d\mathbf {M} _{s}=\mathbf {M} _{s}+\mathbf {m} (s)ds+\mathbf {P} _{s}\times d\mathbf {r} ,}$

(5)

stąd zaś

${\displaystyle \mathbf {P} _{s}^{'}=\mathbf {q} (s),}$ ${\displaystyle \mathbf {M} _{s}^{'}=\mathbf {m} (s)+\mathbf {P} _{s}\times {\tfrac {d\mathbf {r} }{ds}}=\mathbf {m} (s)+\mathbf {P} _{s}\times \mathbf {e} _{1},}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{s}\times \mathbf {e} _{1}=(P_{1}\mathbf {e} _{1}+P_{2}\mathbf {e} _{2}+P_{3}\mathbf {e} _{3})\times \mathbf {e} _{1}=P_{3}\mathbf {e} _{2}-P_{2}\mathbf {e} _{3}.}$

(6)

Zdefiniujemy teraz dodatnie siły przekrojowe działające w przekroju ${\displaystyle S^{(-)}}$ o współrzędnej ${\displaystyle s}$ i normalnej zewnętrznej ${\displaystyle -\,\mathbf {e} _{1}.}$ W tym celu napiszemy

${\displaystyle \mathbf {P} _{s}=P_{1}\mathbf {e} _{1}+P_{2}\mathbf {e} _{2}+P_{3}\mathbf {e} _{3}=N\mathbf {e} _{1}+Q\mathbf {e} _{2}+T\mathbf {e} _{3},}$ ${\displaystyle \mathbf {M} _{s}=M_{1}\mathbf {e} _{1}+M_{2}\mathbf {e} _{2}+M_{3}\mathbf {e} _{3}=M_{s}\mathbf {e} _{1}+M_{n}\mathbf {e} _{2}+M\mathbf {e} _{3},}$

(7)

gdzie:

• ${\displaystyle N}$ – siła podłużna w kierunku osi ${\displaystyle 0\xi _{1},}$
• ${\displaystyle Q}$ – siła poprzeczna w kierunku osi ${\displaystyle 0\xi _{2},}$
• ${\displaystyle T}$ – siła poprzeczna w kierunku osi ${\displaystyle 0\xi _{3},}$
• ${\displaystyle M_{s}}$ – moment skręcający o wektorze w kierunku osi ${\displaystyle 0\xi _{1},}$
• ${\displaystyle M_{n}}$ – moment zginający o wektorze w kierunku osi ${\displaystyle 0\xi _{2},}$
• ${\displaystyle M}$ – moment zginający o wektorze w kierunku osi ${\displaystyle 0\xi _{3}.}$

Korzystając z (7), możemy na podstawie (2) napisać

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} _{s}^{'}&=P_{1}^{'}\mathbf {e} _{1}+P_{2}^{'}\mathbf {e} _{2}+P_{3}^{'}\mathbf {e} _{3}+P_{1}\mathbf {e} _{1}^{'}+P_{2}\mathbf {e} _{2}^{'}+P_{3}\mathbf {e} _{3}^{'}\\[2pt]&=P_{1}^{'}\mathbf {e} _{1}+P_{2}^{'}\mathbf {e} _{2}+P_{3}^{'}\mathbf {e} _{3}+P_{1}(\kappa \mathbf {e} _{2})+P_{2}(-\kappa \mathbf {e} _{1}-\tau \mathbf {e} _{3})+P_{3}(\tau \mathbf {e} _{2})\\[2pt]&=(P_{1}^{'}-\kappa P_{2})\mathbf {e} _{1}+(P_{2}^{'}+\kappa P_{1}+\tau P_{3})\mathbf {e} _{2}+(P_{3}^{'}-\tau P_{2})\mathbf {e} _{3},\end{aligned}}}$

(8)

${\displaystyle {\begin{aligned}\\[1px]\mathbf {M} _{s}^{'}&=M_{1}^{'}\mathbf {e} _{1}+M_{2}^{'}\mathbf {e} _{2}+M_{3}^{'}\mathbf {e} _{3}+M_{1}\mathbf {e} _{1}^{'}+M_{2}\mathbf {e} _{2}^{'}+M_{3}\mathbf {e} _{3}^{'}\\[2pt]&=M_{1}^{'}\mathbf {e} _{1}+M_{2}^{'}\mathbf {e} _{2}+M_{3}^{'}\mathbf {e} _{3}+M_{1}(\kappa \mathbf {e} _{2})+M_{2}(-\kappa \mathbf {e} _{1}-\tau \mathbf {e} _{3})+M_{3}(\tau \mathbf {e} _{2})\\[2pt]&=(M_{1}^{'}-\kappa M_{2})\mathbf {e} _{1}+(M_{2}^{'}+\kappa M_{1}+\tau M_{3})\mathbf {e} _{2}+(M_{3}^{'}-\tau M_{2})\mathbf {e} _{3}.\end{aligned}}}$

(9)

Na podstawie (6) i (7) mamy

${\displaystyle \mathbf {P} _{s}^{'}=q_{1}\mathbf {e} _{1}+q_{2}\mathbf {e} _{2}+q_{3}\mathbf {e} _{3},}$

(10)

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {M} _{s}^{'}&=\mathbf {m} (s)-P_{2}\mathbf {e} _{3}+P_{3}\mathbf {e} _{2}\\[2pt]&=m_{1}\mathbf {e} _{1}+m_{2}\mathbf {e} _{2}+m_{3}\mathbf {e} _{3}-P_{2}\mathbf {e} _{3}+P_{3}\mathbf {e} _{2}\\[2pt]&=m_{1}\mathbf {e} _{1}+(m_{2}+P_{3})\mathbf {e} _{2}+(m_{3}-P_{2})\mathbf {e} _{3}.\end{aligned}}}$

(11)

Porównując współrzędne wektorów (8)–(11) i uwzględniając (7), otrzymujemy układ równań Kirchhoffa o postaci^[1]

Dla pręta płasko zakrzywionego (tzn. gdy ${\displaystyle \tau \equiv 0}$) ten układ równań przybiera postać^[1]

Jeżeli pręt płasko zakrzywiony jest obciążony tylko w płaszczyźnie swojej osi, to ${\displaystyle q_{3}=m_{1}=m_{2}=0}$ i gdy ${\displaystyle T=M_{s}=M_{n}=0,}$ wówczas równania (13) przyjmują postać

${\displaystyle N^{'}-\kappa Q=q_{1},\quad Q^{'}+\kappa N=q_{2},\quad M^{'}=m_{3}-Q.}$

Gdy na taki pręt działają tylko obciążenia ${\displaystyle q_{3},\,m_{1},\,m_{2}}$ ${\displaystyle (q_{1}=q_{2}=m_{3}=0)}$ i gdy ${\displaystyle N=Q=M=0,}$ wtedy mamy zamiast (13)

${\displaystyle T^{'}=q_{3},\quad M_{s}^{'}-\kappa M_{n}=m_{1},\quad M_{n}^{'}+\kappa M_{s}=m_{2}+T.}$

Dla pręta o stałej krzywiźnie osi (tzn. gdy ${\displaystyle \kappa \equiv \mathrm {const} }$ ) równania (13) dają się rozprzęgnąć do postaci

W szczególności dla pręta o osi prostoliniowej (tzn. gdy ${\displaystyle \kappa \equiv 0}$) otrzymujemy

Pewnego podsumowania wymaga jeszcze kryterium znakowania sił przekrojowych określonych równaniami (12). W tym celu dokonujemy dwu przecięć pręta w punktach o współrzędnych ${\displaystyle s}$ i ${\displaystyle s+ds.}$ Konsekwencją tych przecięć jest powstanie czterech przekrojów poprzecznych:

${\displaystyle S^{(+)},\,S^{(-)},\,dS^{(+)},\,dS^{(-)}.}$

Znaki ${\displaystyle (+),\,(-)}$ określają zwroty ich normalnych zewnętrznych odnoszące się do kierunku wersora ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}.}$

Ze środkiem ciężkości ${\displaystyle s}$ przekroju ${\displaystyle S^{(-)}}$ zwiążemy teraz układ współrzędnych ${\displaystyle 0\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}.}$ Siły przekrojowe ${\displaystyle N,Q,T,M_{s},M_{n},M}$ w tym przekroju są dodatnie, gdy działają zgodnie z kierunkami wersorów osi przyjętego układu. Wartości tych sił wynikają z redukcji do punktu ${\displaystyle s}$ wszystkich obciążeń zewnętrznych pręta działających na lewo od jego przekroju ${\displaystyle S^{(-)}.}$

Wykorzystując oznaczenia (9) i (10), możemy dla przekroju ${\displaystyle S^{(-)}}$ napisać

${\displaystyle \mathbf {F} _{s}=[\mathbf {P} _{s},\mathbf {M} _{s}],}$

a dla przekroju ${\displaystyle dS^{(-)}}$

${\displaystyle \mathbf {F} _{s}+d\mathbf {F} _{s}=[\mathbf {P} _{s}+d\mathbf {P} _{s},\;\mathbf {M} _{s}+d\mathbf {M} _{s}].}$

Jeżeli obciążenie zewnętrzne, działające na element ${\displaystyle (s,s+ds)}$ wycięty z rozważanego pręta, oznaczymy przez

${\displaystyle \mathbf {f} (s)=\mathbf {q} (s)+\mathbf {m} (s),}$

to z warunku jego równowagi otrzymamy zamiast (12)

${\displaystyle -d\mathbf {F} _{s}+\mathbf {f} (s)ds=0\quad \to \quad {\tfrac {d}{ds}}\mathbf {F} (s)=\mathbf {f} (s).}$

Dla prostoliniowego pręta o stałej sztywności giętnej ${\displaystyle EI,}$ poddanemu tylko obciążeniu ${\displaystyle q_{2},}$ mamy zgodnie z teorią Eulera-Bernoulliego

${\displaystyle EIw^{''}(s)=M(s).}$

Na podstawie wzorów (15) otrzymuje się

${\displaystyle EIw^{'''}(s)=-Q(s),\quad EIw^{''''}=-\,q_{2}(s).}$

Podstawowa trudność w praktycznym zastosowaniu równań Kirchhoffa polega na tym, że wielkości występujące w tych równaniach są funkcjami parametru naturalnego ${\displaystyle s}$ wyrażającego długość rozważanej krzywej. Związek ${\displaystyle s(t)}$ tego parametru ze zmienną ${\displaystyle t}$ stosowaną w zapisie równań o postaci

${\displaystyle x=x(t),\quad y=y(t),\quad z=z(t)}$

(a)

daje się zapisać w sposób jawny tylko w najprostszych przypadkach takich jak na przykład dla okręgu

${\displaystyle x=r\cos t=r\cos {\tfrac {s}{r}},\quad y=r\sin t=r\sin {\tfrac {s}{r}},\quad \mathbf {s(t)=rt} .}$

W ogólnym przypadku długość łuku określona jest całką

${\displaystyle s(t)=\int _{0}^{s}\!d\sigma =\int _{0}^{t}\!\!{\sqrt {{\dot {x}}^{2}(\tau )+{\dot {y}}^{2}(\tau )+{\dot {z}}^{2}(\tau )}}\,d\tau ,}$

(b)

której obliczenie zazwyczaj stanowi istotny problem.

Dodatkowe utrudnienie wynika z faktu, że wielkości występujące we wzorach (3) są funkcjami zmiennej ${\displaystyle s}$ (a nie ${\displaystyle t}$!), co wymaga podstawienia zależności ${\displaystyle t=t(s)}$ we wzorach (0). Jawna postać tej zależności występuje niestety tylko dla najprostszych przypadków. Na przykład dla okręgu ${\displaystyle t(s)={\tfrac {s}{r}}}$ lub dla spirali kołowej ${\displaystyle t(s)={\tfrac {s}{r}}\cos \varphi .}$

Nawet jeżeli całka we wzorze (b) daje się obliczyć, to wyznaczenie zależności odwrotnej ${\displaystyle t(s)}$ może się okazać niewykonalne. Z taką sytuacją mamy do czynienia na przykład dla krzywej w postaci płaskiej paraboli

${\displaystyle x(t)=t,\quad y(t)=t^{2},\quad z(t)=0,}$

dla której^[5]

${\displaystyle ds(t)={\sqrt {1+4t^{2}}}dt,}$

(c)

${\displaystyle s(t)=2\!\int _{0}^{t}\!\!{\sqrt {{\tfrac {1}{4}}+\tau ^{2}}}d\tau =t{\sqrt {{\tfrac {1}{4}}+t^{2}}}+{\tfrac {1}{4}}\ln \left(t+{\sqrt {{\tfrac {1}{4}}+t^{2}}}\right)-{\tfrac {1}{4}}\ln({\tfrac {1}{2}}).}$

Jak wynika ze wzoru (c) funkcja ${\displaystyle s(t)}$ jest silnie rosnąca i dlatego wiadomo, że istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy wartościami zmiennych ${\displaystyle s}$ i ${\displaystyle t.}$ Jednak nawet dla tego prostego przypadku wyznaczenie jawnej, analitycznej postaci zależności ${\displaystyle t(s)}$ nie jest możliwe.

W przypadku ogólnym, gdy krzywa jest opisana równaniami (a), obliczanie całek

${\displaystyle \int _{0}^{s}\!\!x_{\sigma }d\sigma =\int _{0}^{s}\!\!x[t(\sigma )]d\sigma ,\quad \int _{0}^{s}\!\!y_{\sigma }d\sigma =\int _{0}^{s}\!\!y[t(\sigma )]d\sigma ,\quad \int _{0}^{s}\!\!z_{\sigma }d\sigma =\int _{0}^{s}\!\!z[t(\sigma )]d\sigma ,}$

występujących we wzorach (3) wymaga zastosowania numerycznych metod całkowania. Wymaga to podzielenia przedziału całkowania ${\displaystyle (0,\,s)}$ na ${\displaystyle n}$ podprzedziałów i obliczenia rzędnych ${\displaystyle x_{i},\,y_{i},\,z_{i}}$ funkcji całkowanych, w węzłach podziałowych ${\displaystyle s_{i}.}$ I tu również pojawia się problem bo obliczenie tych rzędnych wymaga ${\displaystyle n+1}$ krotnego, numerycznego rozwiązywania równań ${\displaystyle s(t)=s_{i}}$ w celu wyznaczenia rzędnych ${\displaystyle t_{i}(s_{i}).}$

1. Spirala kołowa prawoskrętna wokoło osi ${\displaystyle 0z.}$
Obliczymy siły przekrojowe w pręcie o osi opisanej parametrycznie

${\displaystyle x(t)=r\cos t,\quad y(t)=r\sin t,\quad z(t)={\tfrac {hr}{2\pi }}t,}$

względem osi kartezjańskiego układu współrzędnych ${\displaystyle 0xyz.}$ Wersory tych osi oznaczymy przez ${\displaystyle \mathbf {i} ,\,\mathbf {j} ,\,\mathbf {k} .}$

Oś pręta jest linią śrubową, czyli spiralą nawiniętą na walec kołowy o promieniu ${\displaystyle r.}$ Skok spirali wynosi ${\displaystyle hr.}$

Siły wyznaczymy jako funkcje zmiennej ${\displaystyle s}$ liczonej wzdłuż osi pręta od jego lewego końca w punkcie ${\displaystyle s=0}$ o współrzędnych ${\displaystyle (r,\,0,\,0).}$

Założymy, że pręt jest całkowicie utwierdzony w przekroju o współrzędnej ${\displaystyle s=r{\sqrt {4\pi ^{2}+h^{2}}}\;\;(t=2\pi )}$ i zupełnie swobodny w przekroju o współrzędnej ${\displaystyle s=0.}$

Pręt jest obciążony siłą skupioną ${\displaystyle \mathbf {P} =-P\mathbf {k} }$ w przekroju ${\displaystyle s=0}$ i równomiernie rozłożonym ciężarem własnym ${\displaystyle \mathbf {q} (s)=-q\mathbf {k} }$ liczonym na jednostkę długości osi pręta.

Wyznaczenie sił przekrojowych dla punktu ${\displaystyle s}$ wymaga wprowadzenia w tym punkcie układu współrzędnych Freneta ${\displaystyle 0\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}.}$ Wersory tego układu mają w układzie ${\displaystyle 0xyz}$ następujące współrzędne

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}=(-\cos \varphi \sin t,\;\cos \varphi \cos t,\;\sin \varphi ),}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{2}=(-\cos t,\;-\sin t,\;0),}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{3}=(\sin \varphi \sin t,\;-\sin \varphi \cos t,\;\cos \varphi ),}$

gdzie ${\displaystyle \varphi }$ jest kątem nachylenia stycznej do osi pręta względem płaszczyzny ${\displaystyle 0xy.}$

Wartości sił w przekroju ${\displaystyle S^{(-)}}$ o współrzędnej ${\displaystyle s}$ oblicza się ze wzorów

${\displaystyle P_{x}=0,\quad P_{y}=0,\quad P_{z}=-P-\int _{0}^{s}qd\sigma =-(P+qs),}$

${\displaystyle P_{1}=N=P_{z}\mathbf {k} \mathbf {e} _{1}=-(P+qs)\sin \varphi ,}$

${\displaystyle P_{2}=Q=P_{z}\mathbf {k} \mathbf {e} _{2}=0,}$

${\displaystyle P_{3}=T=P_{z}\mathbf {k} \mathbf {e} _{3}=-(P+qs)\cos \varphi .}$

${\displaystyle M_{x}=Py_{s}+\int _{0}^{s}qy_{\sigma }d\sigma =Pr\sin \alpha s+{\tfrac {qr}{\alpha }}(1-\cos \alpha s),}$

${\displaystyle \alpha ={\tfrac {\cos \varphi }{r}},\quad \mathbf {\alpha s=t} ,\quad x_{s}=r\cos \alpha s,\quad y_{s}=r\sin \alpha s,\quad \sigma \in [0,s],}$

${\displaystyle M_{y}=P(r-x_{s})+\int _{0}^{s}q(x_{\sigma }-x_{s})d\sigma =Pr(1-\cos \alpha s)+}$

${\displaystyle {}\qquad +q\int _{0}^{s}x_{\sigma }d\sigma -qx_{s}\int _{0}^{s}d\sigma =Pr(1-\cos \alpha s)+{\tfrac {qr}{\alpha }}\sin \alpha s-qrs\cos \alpha s,}$

${\displaystyle M_{z}=0,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {M} _{s}&=M_{x}\mathbf {i} +M_{y}\mathbf {j} +M_{z}\mathbf {k} \\[2pt]&=M_{1}\mathbf {e} _{1}+M_{2}\mathbf {e} _{2}+M_{3}\mathbf {e} _{3},\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{1}&=M_{s}=M_{x}\mathbf {i} \mathbf {e} _{1}+M_{y}\mathbf {j} \mathbf {e} _{1}+M_{z}\mathbf {k} \mathbf {e} _{1}\\[2pt]&=(-\cos \varphi \sin \alpha s)M_{x}+(\cos \varphi \cos \alpha s)M_{y},\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{2}&=M_{n}=M_{x}\mathbf {i} \mathbf {e} _{2}+M_{y}\mathbf {j} \mathbf {e} _{2}+M_{z}\mathbf {k} \mathbf {e} _{2}\\[2pt]&=-\cos \alpha s\,M_{x}-\sin \alpha s\,M_{y},\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{3}&=M=M_{x}\mathbf {i} \mathbf {e} _{3}+M_{y}\mathbf {j} \mathbf {e} _{3}+M_{z}\mathbf {k} \mathbf {e} _{3}\\[2pt]&=(\sin \varphi \sin \alpha s)M_{x}+(-\sin \varphi \cos \alpha s)M_{y}.\end{aligned}}}$

2. Lewoskrętna spirala kołowa na walcu o osi ${\displaystyle 0y.}$

${\displaystyle x(t)=r\cos t,\quad y(t)={\tfrac {hr}{2\pi }}t,\quad z(t)=r\sin t,}$

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=-r\sin t,\quad {\dot {y}}(t)={\tfrac {hr}{2\pi }},\quad {\dot {z}}(t)=r\cos t,}$

${\displaystyle ds={\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}}}=r\kappa dt,}$

${\displaystyle \kappa ={\sqrt {1+{\tfrac {h^{2}}{4\pi ^{2}}}}},\quad {\tfrac {1}{\kappa }}=\cos \varphi ,\quad {\tfrac {h}{2\pi \kappa }}=\sin \varphi ,}$

gdzie ${\displaystyle \varphi }$ jest kątem nachylenia stycznej do osi pręta do płaszczyzny ${\displaystyle 0zx,}$

${\displaystyle x^{'}(s)=-\cos \varphi \sin t,\quad y^{'}(s)=\sin \varphi ,\quad \cos \varphi \cos t,}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}=(-\cos \varphi \sin t,\;\sin \varphi ,\;\cos \varphi \cos t),}$

${\displaystyle x^{''}(s)=-{\tfrac {1}{\rho }}\cos t,\quad y^{''}(s)=0,\quad z^{''}(s)=-{\tfrac {1}{\rho }}\sin t,\quad \rho ={\tfrac {r}{\cos ^{2}\varphi }},}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{2}=(-\cos t,\;0,\;-\sin t),}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{3}=\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}=(-\sin \varphi \sin t,\;-\cos \varphi ,\;\sin \varphi \cos t).}$

Obciążeniem pręta jest jego ciężar własny ${\displaystyle \mathbf {q} =-q\mathbf {k} .}$ Pręt jest w pełni zamocowany w przekroju końcowym.

Siły przekrojowe oblicza się z następujących wzorów:

${\displaystyle \mathbf {P} _{s}=P_{x}\mathbf {i} +P_{y}\mathbf {j} +P_{z}\mathbf {k} =-\int _{0}^{s}q\mathbf {k} d\sigma =-qs\mathbf {k} ,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {M} _{s}&=-\int _{0}^{s}q\mathbf {k} \times (\mathbf {r} _{\sigma }-\mathbf {r} _{s})d\sigma =-q\int _{0}^{s}{\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\[1ex]0&0&1\\x_{\sigma }-x_{s}&y_{\sigma }-y_{s}&z_{\sigma }-z_{s}\end{vmatrix}}d\sigma \\[1ex]&=-q\int _{0}^{s}\left[-(y_{\sigma }-y_{s})\mathbf {i} +(x_{\sigma }-x_{s})\mathbf {j} \right]d\sigma \\[1ex]&=-q\left[(-\int _{0}^{s}y_{\sigma }d\sigma +\int _{0}^{s}y_{s}d\sigma )\mathbf {i} +(\int _{0}^{s}x_{\sigma }d\sigma -\int _{0}^{s}x_{s}d\sigma )\mathbf {j} \right]\\[1ex]&=-qrs\left[{\tfrac {h\alpha s}{4\pi }}\mathbf {i} +({\tfrac {1}{\alpha s}}\sin \alpha s-\cos \alpha s)\mathbf {j} \right]=M_{x}\mathbf {i} +M_{y}\mathbf {j} +0\mathbf {k} ,\end{aligned}}}$

gdzie:

${\displaystyle \alpha ={\tfrac {\cos \varphi }{r}},\quad \mathbf {\alpha s=t} ,\quad x_{s}=x(s)=r\cos \alpha s,\quad y_{s}=y(s)={\tfrac {hr}{2\pi }}\alpha s,}$

${\displaystyle M_{i}=\mathbf {M} _{s}\mathbf {e} _{i}=M_{x}\mathbf {i} \mathbf {e} _{i}+M_{y}\mathbf {j} \mathbf {e} _{i},\quad i=1,2,3,}$

${\displaystyle M_{1}=M_{x}(-\cos \varphi \sin t)+M_{y}(\sin \varphi ),}$

${\displaystyle M_{2}=M_{x}(-\cos t),}$

${\displaystyle M_{3}=M_{x}(-\sin \varphi \sin t)+M_{y}(-\cos \varphi ).}$

3. Okrąg na płaszczyźnie o normalnej ${\displaystyle \mathbf {b} =(0,-\sin \alpha ,\,\cos \alpha ).}$

Oś pręta jest opisana parametrycznie

${\displaystyle x(t)=r\cos t,\quad y(t)=r\cos \alpha \sin t,\quad z(t)=r\sin \alpha \sin t}$

względem układu współrzędnych ${\displaystyle 0xyz.}$

Współrzędne wersorów osi układu Freneta mają współrzędne

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}=(-\sin t,\,\cos \alpha \cos t,\,\sin \alpha \cos t),}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{2}=(-\cos t,\,-\cos \alpha \sin t,\,-\sin \alpha \sin t),}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{3}=\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}=(0,\,-\sin \alpha ,\,\cos \alpha ).}$

Pręt jest przecięty w punkcie początkowym o współrzędnej ${\displaystyle t=0}$ i jest w pełni utwierdzony w punkcie końcowym przy ${\displaystyle t=2\pi .}$ Przekrój początkowy ${\displaystyle S^{(-)}}$ jest swobodny i obciążony skupionym momentem skręcającym ${\displaystyle \mathbf {M} =M\mathbf {j} .}$

Siły przekrojowe mają wartości

${\displaystyle P_{1}=P_{2}=P_{3}=0,}$

${\displaystyle M_{x}=0,\;M_{y}=M,\;M_{z}=0,}$

${\displaystyle \mathbf {M} _{s}=M_{x}\mathbf {i} +M_{y}\mathbf {j} +M_{z}\mathbf {k} =M_{1}\mathbf {e} _{1}+M_{2}\mathbf {e} _{2}+M_{3}\mathbf {e} _{3},}$

${\displaystyle M_{1}=M_{x}\mathbf {i} \mathbf {e} _{1}+M_{y}\mathbf {j} \mathbf {e} _{1}+M_{z}\mathbf {k} \mathbf {e} _{1}=M\cos \alpha \cos t,}$

${\displaystyle M_{2}=M_{x}\mathbf {i} \mathbf {e} _{2}+M_{y}\mathbf {j} \mathbf {e} _{2}+M_{z}\mathbf {k} \mathbf {e} _{2}=-M\cos \alpha \sin t,}$

${\displaystyle M_{3}=M_{x}\mathbf {i} \mathbf {e} _{3}+M_{y}\mathbf {j} \mathbf {e} _{3}+M_{z}\mathbf {k} \mathbf {e} _{3}=-M\sin \alpha .}$