Ciąg geometryczny

Ciąg geometryczny, postęp geometryczny – ciąg liczbowy – skończony bądź nie – w którym każdy wyraz oprócz początkowego jest iloczynem wyrazu poprzedniego i pewnej stałej nazywanej ilorazem ciągu^[1]. Czasem zakłada się dodatkowo, że liczba ta jest różna od zera^[1].

Formalnie: niech $I=\{1,2,3,\dots ,n\}$ lub $I=\mathbb {N} .$ Ciąg liczbowy $(a_{n})_{n\in I}$ nazywa się geometrycznym, jeśli^[2]:

\exists q\ \forall n\in I:a_{n+1}=q\cdot a_{n}.

Ciąg geometryczny można traktować jako mnożeniowy (multyplikatywny) odpowiednik ciągu arytmetycznego.

Przykłady

Do definicji wąskiej

Ciąg (1, 3, 9, 27, 81, ...) ma iloraz równy 3.
Ciąg $(-4,2,-1,{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{4}},\dots )$ ma iloraz równy $-{\tfrac {1}{2}}.$
Ciąg (0, 0, 0, 0, 0, ...) nie ma jednoznacznego ilorazu. Założenie, że iloraz jest niezerowy, nie wyklucza tego przykładu. Mimo to ciąg zerowy bywa wykluczany z grona geometrycznych przez pewne jeszcze węższe definicje, podane dalej.

Do definicji szerokiej

Ciąg (5, 0, 0, 0, 0, ...) ma iloraz równy 0.

Definicje równoważne

Wykres przykładowego ciągu geometrycznego w kartezjańskim układzie współrzędnych

Wąskie

Ciąg geometryczny wyróżnia się stałym stosunkiem wyrazów, co tłumaczy nazwę liczby $q{:}$ jeśli $a_{n}\neq 0,$ to ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=q.$ Ta definicja pociąga za sobą $q\neq 0,$ ponieważ zerowy iloraz oznaczałby zerowanie się licznika.

Szerokie

Z początkowej, rekurencyjnej definicji wynika wzór: $a_{n}=q^{n-1}a_{1}.$ Oznacza to, że przy dodatnich ilorazach ciąg geometryczny jest przykładem funkcji wykładniczej.

Jeśli $a_{i-1},a_{i},a_{i+1}$ są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego $(a_{n}),$ to prawdziwy jest wzór^[2]: $a_{i}^{2}=a_{i-1}a_{i+1}.$ Konsekwencje tego faktu podano niżej.

Własności

Jeśli wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego są nieujemne, to prawie każdy wyraz ciągu geometrycznego jest średnią geometryczną wyrazów sąsiednich^[3]. Wyjątki to wyrazy skrajne, inaczej krańcowe – początkowy i, jeśli istnieje, końcowy.

Ciąg geometryczny może być:

ograniczony lub nie;
okresowy lub nie;
monotoniczny lub nie;
zbieżny, nawet jeśli nie jest monotoniczny;
rozbieżny do nieskończoności;
całkiem rozbieżny;
arytmetyczny lub nie.

Ciąg geometryczny o nieujemnym ilorazie (q⩾0) jest monotoniczny. W przypadku, gdy pierwszy wyraz jest nieujemny, a iloraz jest:

równy 0, to ciąg jest ostatecznie stały, najdalej od drugiego wyrazu;
większy od 0, ale mniejszy od 1, to wyrazy maleją wykładniczo – ciąg zbiega do zera;
równy 1, to ciąg jest stały;
większy od 1, to przy zerze na początku ciąg jest stały, ale przy dodatnim początku wyrazy rosną wykładniczo – ciąg jest rozbieżny do nieskończoności.

Za to gdy początek jest dodatni, a iloraz jest:

mniejszy od 0, a większy od −1, to wyrazy maleją wykładniczo (co do modułu) – ciąg zbiega do zera.
równy −1, to ciąg jest naprzemienny, a przez to rozbieżny (granicami górnymi i dolnymi są pierwsze dwa wyrazy).
mniejszy od −1, to moduły wyrazów ciągu geometrycznego rosną wykładniczo – ciąg jest rozbieżny (nie ma granicy).

Powyższą listę przypadków podsumowuje tabela. Zbieżność ciągu zaznaczono zielonym tłem.


a₁	q
a₁	< –1	–1	> –1, < 0	0	> 0, < 1	1	> 1
< 0	rozbieżność	rozbieżność przez okresową naprzemienność	zbieżność do zera	od drugiego wyrazu ciąg stały	wykładniczy wzrost do zera	ciąg stały	wykładniczy spadek do minus nieskończoności
0	ciąg stały
> 0	rozbieżność	rozbieżność przez okresową naprzemienność	zbieżność do zera	od drugiego wyrazu ciąg stały	wykładniczy spadek do zera	ciąg stały	wykładniczy wzrost do nieskończoności

Suma wyrazów

Jeśli ciąg geometryczny $(a_{n})$ ma iloraz $q\neq 1,$ to suma jego $n$ początkowych wyrazów wynosi^[1]^[2]:

S_{n}:=\sum _{k=1}^{n}a_{k}=\sum _{k=1}^{n}q^{k-1}a_{1}={\frac {a_{1}(1-q^{n})}{1-q}}.

Przypadek $q=1$ sprowadza się do sumy ciągu stałego, czyli $S_{n}=na_{1}.$

Jeśli ciąg $(a_{n})$ jest nieskończony, to można rozpatrywać sumę szeregu o wyrazach będących elementami ciągu $(a_{n})$ – zob. szereg geometryczny.

Przypisy

1 2 3 ciąg geometryczny, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-09-30] .
1 2 3 Wybrane wzory matematyczne, Warszawa: Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2015, s. 3, ISBN 978-83-940902-1-0 .
↑ Geometric progression (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-27].

Linki zewnętrzne

Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej (ZPE MEN), zpe.gov.pl [dostęp 2025-04-27]:

[epwn-1] 1 2 3 ciąg geometryczny, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-09-30] .

[cke-2] 1 2 3 Wybrane wzory matematyczne, Warszawa: Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2015, s. 3, ISBN 978-83-940902-1-0 .

[3] Geometric progression (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-27].

[1]

[2]

[3]