Funkcja Carmichaela

Funkcja λ (lambda) Carmichaela – funkcja określona dla dodatnich liczb całkowitych, której wartością dla danej liczby $n$ jest najmniejsza liczba, taka, że podniesiona do jej potęgi liczba względnie pierwsza z $n$ przystaje do $1\operatorname {mod} n,$ przy czym $\lambda (0)=0$ ^[1]^[2].

\forall _{k<n}\left[{\mbox{NWD}}(k,n)=1\Rightarrow k^{\lambda (n)}\operatorname {mod} n=1\right],

gdzie NWD to największy wspólny dzielnik, a „ $\operatorname {mod} n$ ” – reszta z dzielenia przez $n.$

Definicja formalna

Formalnie, dla danej liczby $n,$ $\lambda \ (n)$ to najmniejsza taka liczba, że:

\forall _{k<n,\ NWD(k,n)=1}\ k^{\lambda (n)}\operatorname {mod} n=1,

gdzie NWD to największy wspólny dzielnik, a „ $\operatorname {mod} n$ ” – reszta z dzielenia przez $n.$

Wychodząc od pojęcia grupy, pojęcie funkcji Carmichaela można wprowadzić dużo naturalniej. Mianowicie, jeżeli rozważymy multiplikatywną grupę klas reszt modulo n $(Z_{n}^{*})$ z działaniem mnożenia modulo n to:

\lambda (n)=\min\{k:\forall _{x\in Z_{n}^{*}}\ x^{k}\equiv 1\},

przy czym powyższe potęgowanie należy rozumieć jako składanie działania z grupy.

Własności

Poniżej $\lambda$ – oznacza funkcję Carmichaela, $\phi$ – funkcję Eulera.

Ścisły wzór

Ścisły wzór na funkcję λ jest następujący (w poniższym wzorze p_i to dla różnych indeksów różne liczby pierwsze, a α_i – liczby naturalne):

\lambda (n)=\left\{{\begin{array}{cl}\phi (n)&n=p_{i}^{\alpha _{i}},\ p_{i}>2\lor \alpha _{i}<3\\{\frac {\phi (n)}{2}}&n=2^{\alpha _{i}},\ \alpha _{i}>2\\NWW{\big (}\lambda (p_{1}^{\alpha _{1}}),\dots ,\lambda (p_{k}^{\alpha _{k}}){\big )}&n=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{\alpha _{i}}\end{array}}\right.,

przy czym NWW to najmniejsza wspólna wielokrotność.

Oszacowania

Dla dowolnej liczby naturalnej $k$ prawdziwe jest oszacowanie górne:

\lambda (k)\leqslant \phi (k).

Dla dowolnej stałej $c<{\frac {1}{\ln {2}}},$ dla dostatecznie dużych $n$ zachodzi nietrywialne ograniczenie:

\lambda (n)>\ln(n)^{c\ln \ln \ln {n}}.

^[3]

Z drugiej strony dla pewnej stałej $c'$ i nieskończenie wielu $n$ zachodzi

\lambda (n)<\ln(n)^{c'\ln \ln \ln {n}}.

^[3]

Wartości dla potęg liczby dwa^[4]

Dla potęg liczby dwa zachodzą następujące równości:

\lambda (2^{n})=\phi (2^{n})

dla

0\leqslant n\leqslant 2,

\lambda (2^{n})=2^{n-2}={\frac {\phi (2^{n})}{2}}

dla

n\geqslant 3.

Wartość dla liczb pierwszych

Jeżeli $p$ – liczba pierwsza to zachodzi:

\lambda (p)=\phi (p)=p-1.

Wartość dla potęg nieparzystych liczb pierwszych^[4]

Jeżeli $p$ – nieparzysta liczba pierwsza a $k$ – liczba naturalna to zachodzi:

\lambda (p^{k})=p^{k-1}(p-1)=\phi (p^{k}).

Wartość dla iloczynu liczb względnie pierwszych

Niech $p,$ $q$ – dwie liczby naturalne; wówczas:

NWD(p,q)=1\Rightarrow \lambda (pq)=NWW{\big (}\lambda (p),\lambda (q){\big )}.

Twierdzenie Carmichaela – związek funkcji z Małym Twierdzeniem Fermata

tzw. Twierdzenie Carmichaela mówi, że następujące dwa warunki są równoważne:

$\lambda (n)\ |\ (n-1),$
$\forall _{a\in \mathbb {N} }\ NWD(a,n)=1\Rightarrow a^{n-1}\equiv 1\ (\operatorname {mod} n).$

Przykład zastosowania funkcji Carmichaela

Problem: obliczyć $3^{2000}\operatorname {mod} 248.$

Rozwiązanie: ponieważ 248 i 3 są względnie pierwsze (248 nie dzieli się przez 3, bo 2+4+8=14 a 1+4=5 → cecha podzielności przez 3), to możemy skorzystać z właściwości funkcji Carmichaela. λ(248)=NWW(λ(8),λ(31))=NWW(4, 30)=30. Tak więc – $3^{30}\operatorname {mod} 248=1.$ Co więcej – ponieważ 30 „mieści się” w 2000 66 razy to zachodzi:

3^{2000}\operatorname {mod} 248=((3^{30})^{66})(3^{20})\operatorname {mod} 248=(1^{66})(3^{20})\operatorname {mod} 248=3^{20}\operatorname {mod} 248,

co jest już do policzenia znacznie prostsze. Jeżeli nie dysponujemy kalkulatorem to możemy skorzystać z prostej właściwości – mianowicie 3⁵=243 co, rozważając działanie $\operatorname {mod} 248$ jest równoważne wartości $-5(243=248-5).$ Czyli:

3^{20}\operatorname {mod} 248=((3^{5})^{4})\operatorname {mod} 248=(-5)^{4}\operatorname {mod} 248=25^{2}\operatorname {mod} 248=625\operatorname {mod} 248=129.