Twierdzenie Bolzana-Weierstrassa

Załóżmy, że ${\displaystyle (c_{n})_{n=0}^{\infty }}$ jest ciągiem liczb rzeczywistych, ${\displaystyle a<b}$ oraz ${\displaystyle a<c_{n}<b}$ dla wszystkich ${\displaystyle n.}$ Indukcyjnie wybieramy liczby ${\displaystyle a_{k},b_{k}\in [a,b]}$ oraz liczby naturalne ${\displaystyle n_{k},}$ tak że dla każdego ${\displaystyle k}$ mamy

• ${\displaystyle n_{0}=0,}$ ${\displaystyle a_{0}=a,}$ ${\displaystyle b_{0}=b,}$
• ${\displaystyle n_{k}<n_{k+1},}$ ${\displaystyle a_{k}\leqslant a_{k+1}\leqslant c_{n_{k+1}}\leqslant b_{k+1}\leqslant b_{k},}$
• ${\displaystyle b_{k}-a_{k}=(b-a)\cdot 2^{-k},}$
• zbiór ${\displaystyle \{n:c_{n}\in [a_{k},b_{k}]\}}$ jest nieskończony.

Pierwszy warunek powyżej definiuje ${\displaystyle n_{0},a_{0},b_{0}.}$ Przypuśćmy, że wybraliśmy już ${\displaystyle n_{k},a_{k},b_{k}}$ tak, że wymagania sformułowane powyżej są spełnione. Niech ${\displaystyle d={\frac {a_{k}+b_{k}}{2}}.}$ Jeśli zbiór ${\displaystyle \{n:c_{n}\in [a_{k},d]\}}$ jest nieskończony, to połóżmy ${\displaystyle a_{k+1}=a_{k},}$ ${\displaystyle b_{k+1}=d}$ i wybierzmy ${\displaystyle n_{k+1}>n_{k}}$ tak że ${\displaystyle a_{k+1}\leqslant c_{n_{k+1}}\leqslant b_{k+1}.}$ Jeśli zbiór ${\displaystyle \{n:c_{n}\in [a_{k},d]\}}$ jest skończony, to wtedy zbiór ${\displaystyle \{n:c_{n}\in [d,b_{k}]\}}$ musi być nieskończony. W tym wypadku deklarujemy, że ${\displaystyle a_{k+1}=d,}$ ${\displaystyle b_{k+1}=b_{k}}$ i wybieramy ${\displaystyle n_{k+1}>n_{k}}$ tak że ${\displaystyle a_{k+1}\leqslant c_{n_{k+1}}\leqslant b_{k+1}.}$

Po przeprowadzeniu powyższej konstrukcji zauważamy, że ciąg ${\displaystyle (c_{n_{k}})_{k=0}^{\infty }}$ jest ciągiem Cauchy’ego, a więc wobec zupełności prostej rzeczywistej jest on zbieżny.

Załóżmy, że ${\displaystyle (c_{n})_{n=0}^{\infty }}$ jest ograniczonym ciągiem liczb rzeczywistych i niech ${\displaystyle L=\inf\{c_{n}:n\},}$ ${\displaystyle R=\sup\{c_{n}:n\},}$ ${\displaystyle M=(R+L)/2}$ i niech ${\displaystyle \Delta =[L,R].}$

Niech teraz ${\displaystyle \Delta _{\epsilon }=[L_{\epsilon },R_{\epsilon }]}$ będzie rodziną podprzedziałów przedziału ${\displaystyle \Delta }$ indeksowaną skończonymi ciągami zero-jedynkowymi określoną wzorami:

${\displaystyle \Delta _{\langle 0\rangle }=[L,M],\Delta _{\langle 1\rangle }=[M,R]}$ oraz ${\displaystyle \Delta _{\epsilon \langle 0\rangle }=[L_{\epsilon },M_{\epsilon }]}$ i ${\displaystyle \Delta _{\epsilon \langle 1\rangle }=[M_{\epsilon },R_{\epsilon }],}$

gdzie ${\displaystyle M_{\epsilon }=(L_{\epsilon }+R_{\epsilon })/2.}$

Łatwo zauważyć, że długość przedziału ${\displaystyle \Delta _{\epsilon }}$ równa jest ${\displaystyle (R-L)/2^{n},}$ gdzie ${\displaystyle n}$ jest długością ciągu ${\displaystyle \epsilon }$ oraz dla dowolnych dwóch ${\displaystyle \epsilon ',}$ ${\displaystyle \epsilon ''}$

${\displaystyle \Delta _{\epsilon ''}\subseteq \Delta _{\epsilon '}}$

wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg ${\displaystyle \epsilon '}$ jest początkiem ciągu ${\displaystyle \epsilon ''.}$

Łatwo też widać, że istnieje nieskończony rosnący ciąg indeksów ${\displaystyle (\epsilon _{n})_{n},}$ dla którego każdy z przedziałów ${\displaystyle {\tilde {\Delta }}_{n}=\Delta _{\epsilon _{n}},}$ ${\displaystyle n\in N}$ zawiera nieskończenie wiele wyrazów ciągu ${\displaystyle (c_{n})_{n}.}$

Niech teraz ${\displaystyle n_{0}=0}$ oraz ${\displaystyle n_{k+1}=\min\{m>n_{k}:c_{m}\in {\tilde {\Delta }}_{k}\}.}$ Wówczas ${\displaystyle (n_{k})_{k}}$ jest ściśle rosnący oraz ${\displaystyle c_{n_{k}}\in {\tilde {\Delta }}_{k}.}$

Pokażemy, że ciąg ${\displaystyle c_{n_{k}}}$ jest zbieżny do ${\displaystyle L^{\star }=\sup\{{\tilde {L}}_{n}:n\in N\},}$ gdzie ${\displaystyle {\tilde {L}}_{n}=L_{\epsilon _{n}}.}$

Niech zatem ${\displaystyle \varepsilon >0}$ i niech ${\displaystyle N}$ będzie takie, że ${\displaystyle 1/2^{N}<\varepsilon /2}$ oraz niech ${\displaystyle K}$ będzie takie, że ${\displaystyle L^{\star }-\varepsilon /2<{\tilde {L}}_{K}\leqslant L^{\star }.}$

Biorąc teraz ${\displaystyle k\geqslant \max\{N,K\}}$ mamy:

${\displaystyle |c_{n_{k}}-L^{\star }|<|c_{n_{k}}-{\tilde {L}}_{k}|+|{\tilde {L}}_{k}-L^{\star }|=|c_{n_{k}}-{\tilde {L}}_{k}|+(L^{\star }-{\tilde {L}}_{k})\leqslant 1/2^{k}+(L^{\star }-{\tilde {L}}_{K})<\varepsilon /2+\varepsilon /2=\varepsilon }$

Tym samym wykazaliśmy zbieżność ciągu ${\displaystyle (c_{n_{k}})_{k}}$ do ${\displaystyle L^{\star }.}$

Niech ${\displaystyle (c_{n})_{n}}$ będzie takim ciągiem jak do tej pory, niech ${\displaystyle L=\inf\{c_{n}:n\},}$ ${\displaystyle R=\sup\{c_{n}:n\}}$ i niech ${\displaystyle d=(R-L)/2.}$

Niech dalej ${\displaystyle M_{0}=(L+R)/2}$ oraz niech ${\displaystyle M_{k+1}=M_{k}-d/2^{k+1}}$ jeśli zbiór ${\displaystyle \{n:M_{k}-d/2^{k}\leqslant c_{n}\leqslant M_{k}\}}$ jest nieskończony oraz ${\displaystyle M_{k+1}=M_{k}+d/2^{k+1}}$ w przeciwnym wypadku. Wykażemy indukcyjnie, że przedziały ${\displaystyle \Delta _{k}=[M_{k}-d/2^{k},M_{k}+d/2^{k}]}$ zawierają nieskończenie wiele elementów ciągu ${\displaystyle (c_{n})_{n}.}$

Ponieważ dla ${\displaystyle k=0,}$ mamy ${\displaystyle \Delta _{0}=[M_{0}-d,M_{0}+d]=[L,R],}$ baza indukcji jest prawdziwa.

Załóżmy zatem, że dla pewnego ${\displaystyle k}$ przedział ${\displaystyle \Delta _{k}=[M_{k}-d/2^{k},M_{k}+d/2^{k}]}$ zawiera nieskończenie wiele elementów ciągu ${\displaystyle (c_{n})_{n}.}$ Jeśli zbiór ${\displaystyle \{n:M_{k}-d/2^{k}\leqslant c_{n}\leqslant M_{k}\}}$ jest nieskończony, to ${\displaystyle M_{k+1}=M_{k}-d/2^{k+1}}$ i wówczas ${\displaystyle \Delta _{k+1}=[M_{k+1}-d/2^{k+1},M_{k+1}+d/2^{k+1}]=[M_{k}-d/2^{k},M_{k}],}$ czyli zawiera nieskończenie wiele elementów rozważanego ciągu.

Jeśli zbiór ${\displaystyle \{n:M_{k}-d/2^{k}\leqslant c_{n}\leqslant M_{k}\}}$ nieskończony nie jest, to musi być nieskończony ${\displaystyle \{n:M_{k}\leqslant c_{n}\leqslant M_{k}+d/2^{k}\},}$ na mocy założenia indukcyjnego i wówczas ${\displaystyle M_{k+1}=M_{k}+d/2^{k+1}}$ oraz ${\displaystyle \Delta _{k+1}=[M_{k+1}-d/2^{k+1},M_{k+1}+d/2^{k+1}]=[M_{k},M_{k}+d/2^{k}],}$ co dopełnia dowód kroku indukcyjnego.

Niech teraz ${\displaystyle m_{0}=0}$ i niech ${\displaystyle m_{k+1}=\min\{n>m_{k}:c_{n}\in \Delta _{k+1}\}.}$ ${\displaystyle (c_{m_{n}})_{n}}$ jest podciągiem ciągu ${\displaystyle (c_{n})_{n}.}$ Ciąg ${\displaystyle L_{n}=M_{n}-d/2^{n}}$ jest rosnący i ograniczony, więc posiada supremum ${\displaystyle L^{\star }.}$ Pokażemy, że ${\displaystyle L^{\star }=\lim _{n\to \infty }c_{m_{n}}.}$

Niech w tym celu ${\displaystyle \varepsilon >0}$ i niech ${\displaystyle N}$ będzie takie, że ${\displaystyle 1/2^{N}<\varepsilon /2}$ oraz niech ${\displaystyle K}$ będzie takie, że ${\displaystyle L^{\star }-\varepsilon /2<{L}_{K}\leqslant L^{\star }.}$

Biorąc teraz ${\displaystyle n\geqslant \max\{N,K\}}$ mamy:

${\displaystyle |c_{m_{n}}-L^{\star }|<|c_{m_{n}}-{L}_{n}|+|{L}_{n}-L^{\star }|=(c_{m_{n}}-{L}_{n})+(L^{\star }-{L}_{n})\leqslant 1/2^{n}+(L^{\star }-{L}_{K})<\varepsilon /2+\varepsilon /2=\varepsilon }$

Tym samym wykazaliśmy zbieżność ciągu ${\displaystyle (c_{m_{n}})_{n}}$ do ${\displaystyle L^{\star }.}$

Zauważmy, że ${\displaystyle L^{\star }}$ jest także granicą ciągów ${\displaystyle (M_{n})_{n}}$ oraz ${\displaystyle R_{n}=M_{n}+d/2^{n}.}$