Szereg harmoniczny

Szereg harmoniczny – szereg liczbowy postaci^[1]:

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\ldots

^[2]

Kolejne sumy częściowe szeregu harmonicznego

H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},

nazywają się liczbami harmonicznymi.

Nazwa szeregu pochodzi stąd, że każdy wyraz szeregu od drugiego począwszy jest średnią harmoniczną dwóch wyrazów bezpośrednio z nim sąsiadujących^[2]:

\operatorname {H} \left({\frac {1}{n-1}},{\frac {1}{n+1}}\right)={\frac {2}{\left({\frac {1}{n-1}}\right)^{-1}+\left({\frac {1}{n+1}}\right)^{-1}}}={\frac {2}{(n-1)+(n+1)}}={\frac {1}{n}}.

Łatwo też sprawdzić, że każdy wyraz od drugiego począwszy jest równy połowie średniej harmonicznej wszystkich wcześniejszych wyrazów.

Rozbieżność szeregu harmonicznego

Szereg harmoniczny jest rozbieżny do nieskończoności^[3]

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\infty .

Dowód Mikołaja z Oresme

Pomysł poniższego dowodu rozbieżności szeregu harmonicznego pochodzi od Mikołaja z Oresme i jest jednym z ważniejszych osiągnięć średniowiecznej matematyki.

Kolejne składniki od drugiego począwszy grupujemy w nawiasy, przy czym każda następna grupa ma dwa razy więcej składników niż poprzednia.

1+\left({\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}\right)+\ldots +\underbrace {\left({\frac {1}{2^{n}+1}}+{\frac {1}{2^{n}+2}}+\ldots +{\frac {1}{2^{n+1}}}\right)} _{2^{n}\ {\text{składników}}}+\ldots

Ponieważ

{\frac {1}{2}}\geqslant {\frac {1}{2}}

{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\ >\ {\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}={\frac {1}{2}}

{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}\ >\ {\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}={\frac {1}{2}}

i ogólnie

{\frac {1}{2^{n}+1}}+{\frac {1}{2^{n}+2}}+\ldots +{\frac {1}{2^{n+1}}}\ >\ \underbrace {{\frac {1}{2^{n+1}}}+{\frac {1}{2^{n+1}}}+\ldots +{\frac {1}{2^{n+1}}}} _{2^{n}\ {\text{identycznych składników}}}={\frac {1}{2}},

więc

H_{2^{n}}\geqslant 1+{\tfrac {1}{2}}n.

Oznacza to, że ciąg sum częściowych $H_{i}$ jest rozbieżny do $\infty$ ^[4].

Dowód Pietra Mengolego

W 1650 w pracy Novae quadraturae arithmeticae seu de additione fractionum dowód rozbieżności podał Pietro Mengoli^[5].

Grupujemy składniki szeregu w nawiasy po trzy składniki od drugiego począwszy:

1+\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}\right)+\left({\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{10}}\right)+\ldots +\left({\frac {1}{3k-1}}+{\frac {1}{3k}}+{\frac {1}{3k+1}}\right)+\ldots

Ponieważ

{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}>1

{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}>{\frac {1}{2}}

{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{10}}>{\frac {1}{3}}

i ogólnie

{\frac {1}{3k-1}}+{\frac {1}{3k}}+{\frac {1}{3k+1}}={\frac {27k^{2}-1}{3k(9k^{2}-1)}}={\frac {1}{k}}+{\frac {2}{3k(9k^{2}-1)}}>{\frac {1}{k}},

więc

H_{3k+1}>1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\ldots +{\frac {1}{k}}=1+H_{k},

co w efekcie daje

H_{3k+1}-H_{k}>1.

Oznacza to, że ciąg sum częściowych $H_{i}$ nie spełnia warunku Cauchy’ego; nie jest więc zbieżny.

Dowód Bradleya

Bradley podał w roku 2000^[6] następujący dowód rozbieżności szeregu harmonicznego.

Dla dowolnej liczby $x>-1$ spełniona jest nierówność

x\geqslant \ln(x+1),

a stąd

{\frac {1}{k}}\geqslant \ln \left(1+{\frac {1}{k}}\right)=\ln \left({\frac {k+1}{k}}\right)=\ln(k+1)-\ln k.

Ciąg sum częściowych można więc oszacować:

{\begin{aligned}H_{n}&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\geqslant \sum _{k=1}^{n}(\ln(k+1)-\ln k)=\ln(n+1).\end{aligned}}

Ponieważ

\lim _{n\to \infty }\ln(n+1)=\infty ,

zachodzi

\lim _{n\to \infty }H_{n}=\infty .

Ciąg liczb harmonicznych

Ciąg liczb harmonicznych $(H_{n})$ jest rozbieżny do $\infty ,$ ale rośnie powoli a jego wzrost można opisać zależnością:

\lim _{n\to \infty }(\ H_{n}-\ln(n)\ )=\gamma ,

gdzie $\gamma$ = 0,5772156649… jest tzw. stałą Eulera. Oznacza to, że szereg harmoniczny rośnie tak szybko jak funkcja logarytm naturalny. Dokładniejsze oszacowanie liczby $H_{n}$ jest dane wzorem

H_{n}=\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+O\left({\frac {1}{n^{4}}}\right).

Niektóre uogólnienia

Uogólniony szereg harmoniczny postaci

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{an+b}}

jest rozbieżny przy dowolnych wartościach $a\neq 0,b\in \mathbb {R} ,an+b\neq 0.$

Euler udowodnił rozbieżność szeregu

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{p_{n}}},

gdzie $p_{n}$ jest $n$ -tą liczbą pierwszą.

Szeregi harmoniczne wyższych rzędów

Szeregiem harmonicznym rzędu α nazywa się szereg postaci:

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\alpha }}}=1+{\frac {1}{2^{\alpha }}}+{\frac {1}{3^{\alpha }}}+{\frac {1}{4^{\alpha }}}+\ldots

^[2]

Szereg ten jest zbieżny dla $\alpha >1$ ^[7] i rozbieżny w przeciwnym przypadku. Jeżeli dopuści się, by $\alpha$ przyjmowało wartości zespolone i każdej liczbie $\alpha ,$ dla której szereg jest zbieżny, przypisze się jego sumę, to tak utworzona funkcja nosi nazwę funkcji dzeta $\zeta$ Riemanna:

\zeta (\alpha )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\alpha }}}.

Funkcja ta ma podstawowe znaczenie w teorii liczb. Związana jest z nią słynna i nierozstrzygnięta do dzisiaj hipoteza Riemanna.

Ponadto, szereg naprzemienny

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=\ln 2.

jest zbieżny, jednak tylko warunkowo. Wynika to na przykład z rozwinięcia funkcji logarytm naturalny w szereg Taylora.

Natomiast szereg:

\sum _{n=1}^{\infty }\epsilon _{n}{\frac {1}{n}},

gdzie $\epsilon _{n}$ to zmienne losowe przyjmujące z prawdopodobieństwem ½ wartości 1 i -1, jest zbieżny prawie na pewno. Wynika to z twierdzenia Kołmogorowa o trzech szeregach, bo wartości bezwzględne zmiennych są wspólnie ograniczone, wartości oczekiwane równe 0, a wariancje równe ${\frac {1}{n^{2}}},$ co jest szeregiem zbieżnym.

Przypisy

↑ szereg harmoniczny, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-07-19] .
1 2 3 Matematyka, Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1990 (Encyklopedia szkolna), s. 277, ISBN 83-02-02551-8 .
↑ Jahnke 2003 ↓, s. 118.
↑ Fichtenholz 1966 ↓, s. 226.
↑ KrzysztofK. Maślanka KrzysztofK., Pietro Mengoli i szeregi liczbowe, „Kwartalnik Historii Nauki i Techniki”, 49 (1), 2004, s. 47–64 [dostęp 2019-02-08] (pol.).
↑ D.M. Bradley, A note on the divergence of the harmonic series, „American Mathematical Monthly”, 107 (2000), 651.
↑ Fichtenholz 1966 ↓, s. 227.

Bibliografia

Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966.
Hans Niels Jahnke: A history of analysis. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003. ISBN 0-8218-2623-9. OCLC 51607350.

Linki zewnętrzne

Piotr Stachura, Sławny dowód rozbieżności szeregu harmonicznego, kanał Khan Academy na YouTube, 13 sierpnia 2016 [dostęp 2024-06-22].

[epwn-1] szereg harmoniczny, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-07-19] .

[ES-2] 1 2 3 Matematyka, Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1990 (Encyklopedia szkolna), s. 277, ISBN 83-02-02551-8 .

[CITEREFJahnke2003118-3] Jahnke 2003 ↓, s. 118.

[CITEREFFichtenholz1966226-4] Fichtenholz 1966 ↓, s. 226.

[5] KrzysztofK. Maślanka KrzysztofK., Pietro Mengoli i szeregi liczbowe, „Kwartalnik Historii Nauki i Techniki”, 49 (1), 2004, s. 47–64 [dostęp 2019-02-08] (pol.).

[6] D.M. Bradley, A note on the divergence of the harmonic series, „American Mathematical Monthly”, 107 (2000), 651.

[CITEREFFichtenholz1966227-7] Fichtenholz 1966 ↓, s. 227.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]