Liczby doskonałe

Liczba doskonała – liczba naturalna, która jest sumą wszystkich swych naturalnych dzielników właściwych (to znaczy od niej mniejszych)^[1]. Korzystając z pojęcia funkcji σ, można liczby doskonałe definiować jako te, dla których zachodzi warunek:

${\displaystyle \sigma (n)=2n.}$

Najmniejszą liczbą doskonałą jest ${\displaystyle 6}$, ponieważ ${\displaystyle 6=3+2+1.}$ Następną jest ${\displaystyle 28,}$ ponieważ ${\displaystyle 28=14+7+4+2+1.}$

Kolejnymi są ${\displaystyle 496,}$ ${\displaystyle 8128,}$ ${\displaystyle 33550336,}$ ${\displaystyle 8589869056,}$ ${\displaystyle 137438691328}$ i ${\displaystyle 2305843008139952128.}$

Największą znaną obecnie (21 października 2024) liczbą doskonałą jest ${\displaystyle 2^{136279840}\cdot (2^{136279841}-1),}$ liczy ona 82 048 640 cyfr w rozwinięciu dziesiętnym^[2].

Wszystkie znane liczby doskonałe są parzyste. Nie udało się dotąd znaleźć żadnej liczby doskonałej nieparzystej, ani dowodu, że liczby takie nie istnieją.

W IX księdze Elementów, najstarszym piśmie opisującym liczby doskonałe, Euklides podał sposób znajdowania liczb doskonałych parzystych^[3]:

należy obliczać sumy kolejnych potęg dwójki ${\displaystyle 1+2+4+8+\dots }$ Jeżeli któraś z otrzymanych sum okaże się liczbą pierwszą, należy pomnożyć ją przez ostatni składnik i otrzymamy liczbę doskonałą.

Sposób podany przez Euklidesa każe badać kolejno sumy:

${\displaystyle 1+2^{1},\quad 1+2^{1}+2^{2},\quad 1+2^{1}+2^{2}+2^{3},\quad \dots }$

Są to sumy ciągu geometrycznego o ilorazie ${\displaystyle 2,}$ więc mają one postać ${\displaystyle 2^{i}-1.}$ Jeśli któraś z tych liczb ${\displaystyle 2^{i}-1}$ okaże się liczbą pierwszą, to ${\displaystyle (2^{i}-1)\cdot 2^{i-1}}$ jest liczbą doskonałą.

Leonhard Euler udowodnił, że każda liczba doskonała parzysta ma postać ${\displaystyle (2^{p}-1)2^{p-1}}$, gdzie ${\displaystyle 2^{p}-1}$ jest liczbą pierwszą. Warunkiem pierwszości liczby ${\displaystyle 2^{p}-1}$ jest pierwszość liczby ${\displaystyle p}$. Rzeczywiście, niech ${\displaystyle n=ab}$ będzie liczbą złożoną, gdzie ${\displaystyle a,b>1}$ są liczbami naturalnymi. Wówczas

${\displaystyle 2^{n}-1=2^{ab}-1=(2^{a})^{b}-1^{b}=}$

${\displaystyle =(2^{a}-1)(2^{a(b-1)}+2^{a(b-2)}+2^{a(b-3)}+\ldots +2^{a(b-b)})}$

również jest liczbą złożoną. Istnieje jednoznaczna odpowiedniość liczb doskonałych parzystych z liczbami pierwszymi Mersenne’a w postaci

${\displaystyle M_{p}=2^{p}-1}$.

Euler udowodnił, że każda liczba doskonała nieparzysta musi być postaci ${\displaystyle p^{4k+1}l^{2},}$ gdzie ${\displaystyle p}$ jest liczbą pierwszą postaci ${\displaystyle 4m+1.}$ Wiadomo też, że jeśli liczba taka istnieje, to musi być większa od ${\displaystyle 10^{1500}.}$

• liczby towarzyskie
• liczby zaprzyjaźnione

• Wacław Sierpiński, Arytmetyka teoretyczna.
• Władysław Narkiewicz, Nieparzyste Liczby doskonałe, Delta, 12(403), s. 4.
• WłodzimierzW. Holsztyński WłodzimierzW., Liczby doskonałe, „Delta”, grudzień 2007, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-11-02] .

Polskojęzyczne

Nagrania na YouTube [dostęp 2024-09-04]:

• Liczby doskonałe, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej (MiNI PW), kanał „Archipelag Matematyki”, 10 października 2017.
• Tomasz Miller, Liczby pierwsze i doskonałe, Centrum Kopernika Badań Interdyscyplinarnych – Uniwersytet Jagielloński (CKBI UJ), kanał „Copernicus”, 27 października 2022.

Anglojęzyczne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Perfect Number, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Odd Perfect Number, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
• Perfect number, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-03-25].
• Derek Muller, The Oldest Unsolved Problem in Math, kanał Veritasium na YouTube, 8 marca 2024 [dostęp 2024-03-25].
• Mersenne Prime Search
• Odd Perfect Number Search. oddperfect.org. [zarchiwizowane z tego adresu (2018-11-06)].