Rozkład beta

Wartość oczekiwana rozkładu beta jest funkcją stosunku parametrów ${\displaystyle \alpha }$ i ${\displaystyle \beta }$^[1]:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu =\operatorname {E} [X]&=\int _{0}^{1}xf(x;\alpha ,\beta )\,dx\\&=\int _{0}^{1}x\,{\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\,dx\\&={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\\&={\frac {1}{1+{\frac {\beta }{\alpha }}}}.\end{aligned}}}$

Jeśli oba parametry są równe, ${\displaystyle \alpha =\beta ,}$ rozkład jest symetryczny ze średnią ${\displaystyle \mu ={\frac {1}{2}}.}$ Wraz z dążeniem proporcji parametrów ${\displaystyle \alpha }$ i ${\displaystyle \beta }$ do wartości nieskończonych lub nieskończenie małych, rozkład staje się prawo- lub lewoskośny, ze średnią dążącą do granic przedziału ${\displaystyle [0,1]{:}}$

${\displaystyle \lim _{{\frac {\beta }{\alpha }}\to 0}\mu =1}$

${\displaystyle \lim _{{\frac {\beta }{\alpha }}\to \infty }\mu =0.}$

Maksimum lub minimum rozkładu beta wyraża funkcja^[1]:

${\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}.}$

Jeśli oba parametry są mniejsze od zera, ${\displaystyle \alpha ,\beta <0,}$ wartość funkcji wyznacza minimum rozkładu.

Wariancję rozkładu beta określa funkcja parametrów ${\displaystyle \alpha }$ i ${\displaystyle \beta }$^[1]:

${\displaystyle \operatorname {var} (X)=\operatorname {E} [(X-\mu )^{2}]={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}.}$

Wraz z dążeniem parametrów do zera, ${\displaystyle \alpha =\beta =0,}$ rozkład dąży do maksymalnej możliwej wariancji ${\displaystyle \operatorname {var} (X)={\frac {1}{4}}.}$ Przy ${\displaystyle \alpha =\beta =1,}$ rozkład jest jednostajny o typowej dla niego wariancji równej ${\displaystyle \operatorname {var} (X)={\frac {1}{12}}.}$ Wraz z dążeniem jednego lub obu parametrów do nieskończoności, wariancja dąży do zera.