Rozkład logarytmicznie normalny

Rozkład logarytmicznie normalny
	Gęstość prawdopodobieństwa; ; µ=0
	Dystrybuanta; ; µ=0
Parametry	;
Nośnik
Gęstość prawdopodobieństwa
Dystrybuanta
Wartość oczekiwana (średnia)
Mediana
Moda
Wariancja
Współczynnik skośności
Kurtoza
Entropia
Funkcja tworząca momenty	Nie istnieje funkcja generująca momenty, jednak wszystkie momenty istnieją i są dane wzorem:;
Odkrywca	John Henry Gaddum (1945)

Rozkład logarytmicznie normalny (albo logarytmiczno-normalny, log-normalny) – ciągły rozkład prawdopodobieństwa dodatniej zmiennej losowej, której logarytm ma rozkład normalny.

Z uwagi na to, że wiele zmiennych naturalnie pojawiających się zastosowaniach jest nieujemnych (rozmiar organizmu, wielkość opadów deszczu w meteorologii, przychód w ekonomii), rozkład logarytmicznie normalny znajduje zastosowanie w statystyce. Andriej Kołmogorow wyznaczył rozkład logarytmicznie normalny jako granicę procesu podziału cząsteczki na dwie kolejne o losowych wielkościach^[1]

Definicja

Niech $X$ będzie zmienną losową przyjmująca wartości dodatnie. Zmienna ta ma rozkład logarytmicznie normalny z parametrami $\mu$ i $\sigma ^{2},$ gdy zmienna losowa $Y=\ln X$ ma rozkład normalny z parametrami $\mu$ i $\sigma ^{2}.$ Symbolicznie:

X\sim \Lambda (\mu ,\sigma ^{2}).

Funkcja gęstości zmiennej o rozkładzie $\Lambda (\mu ,\sigma ^{2})$ wyraża się wzorem^[2]

f(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma x}}\exp \left(-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right),&x>0\\0,&x\leqslant 0\end{array}}\right.

Przypisy

↑ A. N. Kolmogorov, Über das logarithmisch normale Verteilungsgesetz der Dimensionen der Teilchen bei Zerstückelung, Dok. Akad. Nauk SSSR, 31, no. 1 (1941), s. 99–101.
↑ Crow i Shimizu 1988 ↓, s. 2.

Bibliografia

Edwin L. Crow, Kunio Shimizu: Lognormal distributions. Theory and applications. New York: M. Dekker, 1988, seria: Statistics, textbooks and monographs, 88. ISBN 978-0-8247-7803-3. OCLC 949673344. (ang.).

[1] A. N. Kolmogorov, Über das logarithmisch normale Verteilungsgesetz der Dimensionen der Teilchen bei Zerstückelung, Dok. Akad. Nauk SSSR, 31, no. 1 (1941), s. 99–101.

[CITEREFCrowShimizu19882-2] Crow i Shimizu 1988 ↓, s. 2.

[1]

[2]

Rozkłady ciągłe	arcusa sinusa beta Cauchy’ego chi chi kwadrat Dirichleta Erlanga F Snedecora Fishera-Tippetta gamma jednostajny ciągły Laplace’a logarytmicznie normalny logistyczny normalny (wielowymiarowy normalny) Pareta Rayleigha Studenta trójkątny Voigta Weibulla wykładniczy
Rozkłady dyskretne	Benforda dwumianowy Rozkład dwupunktowy dzeta geometryczny hipergeometryczny jednostajny dyskretny Rozkład jednopunktowy Panjera Pascala (ujemny dwumianowy) Poissona zero-jedynkowy

Gęstość prawdopodobieństwa µ=0
Dystrybuanta µ=0
Parametry	$\sigma >0$ $0\leq \mu <\infty$
Nośnik	$(0,+\infty )$
Gęstość prawdopodobieństwa	${\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma x}}\exp \left(-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\cdot \mathbf {1} _{(0,\infty )}$
Dystrybuanta	${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\mathrm {erf} \left[{\frac {\ln(x)-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right]$
Wartość oczekiwana (średnia)	$e^{\mu +\sigma ^{2}/2}$
Mediana	$e^{\mu }$
Moda	$e^{\mu -\sigma ^{2}}$
Wariancja	$(e^{\sigma ^{2}}\!\!-1)e^{2\mu +\sigma ^{2}}$
Współczynnik skośności	$(e^{\sigma ^{2}}\!\!+2){\sqrt {e^{\sigma ^{2}}\!\!-1}}$
Kurtoza	${\frac {e^{6\sigma ^{2}}-4e^{3\sigma ^{2}}+6e^{\sigma ^{2}}-3}{e^{4\mu +2\sigma ^{2}}(e^{\sigma ^{2}}-1)^{4}}}$
Entropia	${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi \sigma ^{2})+\mu$
Funkcja tworząca momenty	Nie istnieje funkcja generująca momenty, jednak wszystkie momenty istnieją i są dane wzorem: $\mu _{k}=e^{k\mu +k^{2}\sigma ^{2}/2}$
Odkrywca	John Henry Gaddum (1945)