Rozkład hipergeometryczny

Rozkład hipergeometryczny – dyskretny rozkład prawdopodobieństwa związany z tzw. schematem urnowym.

Zmienna losowa o tym rozkładzie określa prawdopodobieństwo uzyskania ${\displaystyle k}$ sukcesów (${\displaystyle k}$-krotnego wylosowania obiektu mającego określoną cechę) w ${\displaystyle n}$-elementowej próbie, czyli ${\displaystyle n}$ pojedynczych próbkowaniach bez zwracania z populacji o skończonej wielkości ${\displaystyle N}$, w której znajduje się dokładnie ${\displaystyle m}$ obiektów mających tę cechę. W każdym pojedynczym próbkowaniu może nastąpić albo sukces, albo porażka^[1].

Niekiedy spotyka się inny sposób sformułowania, np. zamiast ${\displaystyle N}$ (wielkości całej populacji) parametrem jest ${\displaystyle N-m}$ (liczba obiektów niemających określonej cechy w populacji)^[2].

Zmienna losowa ${\displaystyle X}$ ma rozkład hipergeometryczny, gdy funkcja masy prawdopodobieństwa (pmf) jest dana wzorem^[3]

${\displaystyle p_{X}(k)=\mathbb {P} (X=k)={\frac {{\binom {m}{k}}{\binom {N-m}{n-k}}}{\binom {N}{n}}},}$

gdzie

• ${\displaystyle N}$ to wielkość populacji,
• ${\displaystyle m}$ to liczba sukcesów (obiektów, które mają określoną cechę) w tej populacji,
• ${\displaystyle n}$ to liczba pojedynczych losowań (wielkość pobieranej próbki),
• ${\displaystyle k}$ to liczba sukcesów zaobserwowanych w próbce,
• ${\textstyle \textstyle {a \choose b}}$ to symbol Newtona.

Wzór ten stosuje się dla k, takich że ${\displaystyle \max(0,n+m-N)\leqslant k\leqslant \min(m,n)}$. Poza tym przedziałem prawdopodobieństwa ${\displaystyle p_{X}(k)}$ wynoszą zero.

W grze Lotto uczestnik kupuje zakład, w ramach którego typuje, które z 49 liczb zostaną wylosowane w losowaniu odbywającym się w określonym terminie. W pojedynczym losowaniu losuje się 6 liczb. W pojedynczym zakładzie uczestnik typuje również 6 liczb. Zmienna ${\displaystyle X}$ określająca, ile z wytypowanych w tym zakładzie liczb zostanie wylosowanych, ma rozkład hipergeometryczny z parametrami ${\displaystyle N=49}$, ${\displaystyle m=6}$, ${\displaystyle n=6}$. Prawdopodobieństwo prawidłowego wytypowania wszystkich sześciu liczb (trafienia szóstki) wynosi więc:

${\displaystyle p_{X}(6)=\mathbb {P} (X=6)={\frac {{\binom {6}{6}}{\binom {49-6}{6-6}}}{\binom {49}{6}}}={\frac {1}{13983816}}\approx 0{,}0000000715,}$

zaś prawdopodobieństwo uzyskania trójki (prawidłowego wytypowania dokładnie trzech liczb) wynosi:

${\displaystyle p_{X}(3)=\mathbb {P} (X=3)={\frac {{\binom {6}{3}}{\binom {49-3}{6-3}}}{\binom {49}{6}}}={\frac {246820}{13983816}}\approx 0{,}0177.}$

Jeżeli uczestnik gra systemem i typuje 8 liczb (co jest równoważne z zakupem odpowiedniej liczby powiązanych zakładów), zmienna ${\displaystyle Y}$ określająca, ile z wytypowanych liczb będzie wylosowanych, ma rozkład hipergeometryczny z parametrami ${\displaystyle N=49}$, ${\displaystyle m=8}$, ${\displaystyle n=6}$. W takiej sytuacji prawdopodobieństwo uzyskania szóstki wynosi:

${\displaystyle p_{Y}(k)=\mathbb {P} (Y=k)={\frac {{\binom {8}{6}}{\binom {49-8}{6-6}}}{\binom {49}{6}}}\approx 0{,}0000020023}$

• rozkład geometryczny